Une démo d'un théorème de Burnside
Bonjour,
je soumets à la critique une démonstration d'un théorème de Burnside relatif aux sous-algèbres irréductibles de $L(V)$ lorsque $V$ est de dimension finie sur un corps algébriquement clos. Le cadre est le programme de l'agrégation externe. J'envisage cette démonstration pour un développement.
Merci pour vos retours,
B
je soumets à la critique une démonstration d'un théorème de Burnside relatif aux sous-algèbres irréductibles de $L(V)$ lorsque $V$ est de dimension finie sur un corps algébriquement clos. Le cadre est le programme de l'agrégation externe. J'envisage cette démonstration pour un développement.
Merci pour vos retours,
B
Réponses
-
Bonjour,
par hasard, je suis tombé sur un sujet de Centrale où ce théorème est démontré.
B -
Je n'avais jamais vu cette démonstration, c'est amusant (celle que je connaissais procède par une diminution du rang jusqu'à montrer que $A$ contient un opérateur de rang $1$, puis en déduit qu'elle contient tous les opérateurs de rang $1$, et on finit ainsi)
Quelques remarques :
Tu parles d'idéal à droite mais écris $AI\subset I$, ce qui est la définition d'idéal à gauche (et c'est bien à gauche que tu utilises tout du long)
Dans l'énoncé du lemme 3, cela devrait être $h(w) = \lambda(w) id$ (tu as quantifié sur $w$ juste avant)
Dans la démonstration 4, tu as une coquille : tu voulais dire $\ker(\lambda) \neq V$, pas $\neq A$ (la même coquille apparaît dans la conclusion). Tu dis aussi qu'il faut finir la démonstration dans cette partie. -
Bonjour Maxtimax,
Merci pour tes observations dont je vais tenir compte. Concernant l'autre démonstration que tu évoques, as-tu une référence bibliographique s'il-te-plaît ?
Merci,
V -
Je n'ai lu que jusqu'à la fin du paragraphe "plan", mais un conseil esthétique que je peux te donner est le suivant: en face de chaque élément du plan, tu mets une "évaluation" de sa difficulté pour un L1-L2 théorique.
En particulir, s'il y a une subtilité quelque part, elle est signalée dès le plan.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour christophe c,
Bonne idée ! -
Bonjour,
Dans le sujet de Centrale fourni plus haut, il y a une application : la triangularisabilité des sous-algèbres de $L(V)$ (pas de $\mathfrak{gl}(V)$) constituées de nilpotents.
B
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