Polynôme et racine $n$-ième

topopot
topopot
dans Algèbre
Soient $n\in\N^*$ et $P\in\C_{n-1}[X]$. On note $\mathbf U_n$ le groupe des racines $n$-ièmes de l'unité.

Comment montrer que $P(0)=\frac{1}{n}\sum_{\omega\in\mathbf U_n}P(\omega)$ ?J'ai pensé noter $P:=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_k X^k$, de sorte que $P(0)=\alpha_0$ et en notant $\omega_0:=e^{\frac{2i\pi}{n}}$ le générateur de $\mathbf U_n$, la valeur $P(\omega_0)$ ne me dit rien car les $\alpha_k$ gênent.
J'imagine qu'il faudra à un moment ou un autre utiliser $\sum_{\omega\in\mathbf U_n}\omega=0$ mais je ne sais pas comment.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Les deux côtés ($P\mapsto P(0)$ et $P\mapsto \frac{1}{n}\sum_\omega P(\omega)$) sont des applications linéaires de $P$.
    Pour montrer qu'elles coïncident, il suffit de le faire sur une base de $\C_{n-1}[X]$
  • _Julien_
    _Julien_
    Tu peux aussi utiliser $P:=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_k X^k$ pour calculer $\frac{1}{n}\sum_{\omega\in\mathbf U_n}P(\omega)$ en intervertissant les deux sommes finies.

    Avec cette méthode ou celle de @Maxtimax, tu devras effectivement étudier des sommes faisant intervenir des puissances des racines n-ièmes de l'unité.
  • topopot
    topopot
    Merci pour vos pistes.

    Est-ce que comme cela c'est bon ? J'ai l'impression que le $\frac{1}{n}$ est artificiel 8-)

    Les applications $u:P\mapsto P(0)$ et $v:P\mapsto\frac{1}{n}\sum_{\omega\in\mathbf U_n}P(\omega)$ sont linéaires de $\C_{n-1}[X]$ dans $\C$ donc pour montrer qu'elles sont égales, ils suffit de montrer qu'elles coïncident sur la base canonique de $\C_{n-1}[X]$.
    Or pour tout $k\in [\![0,n-1]\!]$, en notant $\omega_0:=e^{\frac{2i\pi}{n}}$, on a $\omega_0^k\neq 1$ et $v(X^k)=\frac{1}{n}\sum_{\omega\in\mathbf U_n}\omega^k=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_{0}^k)^i=\frac{1}{n}\frac{1-1}{1-\omega_0^k}=0=u(X^k)$.
    D'où $u=v$ i.e. pour tout $P\in\C_{n-1}[X], P(0)=\frac{1}{n}\sum_{\omega\in\mathbf U_n}P(\omega)$.
  • _Julien_
    _Julien_
    Oui c'est le bon raisonnement; cependant il faut traiter le cas $k=0$ à part.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Comme le dit Julien, le cas $k=0$ est à part et c'est pour ça que que ce n'est pas "artificiel" de rajouter $1/n$
  • _Julien_
    _Julien_
    Effectivement le $1/n$ n'a rien d'artificiel (il y a un isobarycentre qui se cache). D'ailleurs, on peut obtenir une caractérisation des polygones réguliers (voir exercice 5.23 X-ENS Algèbre 1).
  • topopot
    topopot
    En effet, j'avais zappé le cas $k=0$, maintenant c'est bon.

    De cette égalité, on en déduit facilement que $|P(0)|\leqslant\max\{|P(\omega)|\mid\omega\in\mathbf U_n\}$.

    Auriez-vous une CNS pour que cette inégalité soit une égalité ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Regarde comment tu obtiens cette inégalité et demande toi à chaque étape sous quelle condition on peut avoir égalité, ça pourra certainement t'aider.
  • topopot
    topopot
    Je ne trouve pas :-(
    Je connais uniquement le cas d'égalité dans une inégalité triangulaire à deux termes.
  • Poirot
    Poirot
    Bah c'est la même chose pour l'inégalité triangulaire à plus de termes :-D
  • topopot
    topopot
    Du coup la CNS cherchée est-elle : $(P(\omega))_{\omega\in\mathbf U_n}$ positivement liée et $\forall\omega\in\mathbf U_n, |P(0)|=|P(\omega)|$ ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Que peux-tu dire de complexes positivement liés et de même module ?
    Que peux-tu ensuite dire d'un polynôme de degré $\leq n-1$ qui vérifie cette chose ?
  • topopot
    topopot
    Des complexes positivement liés et de même module sont égaux.
    Par conséquent, la CNS est : $\forall\omega\in\mathbf U_n, P(\omega)=P(0)$.

    J'imagine qu'ensuite on utilise en un certain sens que $P$ admet au plus $n-1$ racines mais je ne vois pas comment.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Si tu as un polynôme $P$ qui prend beaucoup de fois la valeur $a$, que dire du polynôme $P-a$ ?
  • topopot
    topopot
    Merci Maxtimax de me rappeler cette évidence.

    Par conséquent, la CNS finale est $P\in\C_0[X]$ !
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