Ensemble non vide

Si $S$ est non vide alors on prend $p$ un élément premier de $A$ et $\langle p^2 \rangle \in J$.

Mais dans ce cas, on retombe sur le premier problème, puisque si on considère $0$ premier, alors $\{0\} \not \in J$.

Julia a l'air d'avoir adopté la convention de cette page, où on considère que $0$ n'est pas un élément premier, même si l'idéal nul est un idéal premier.

Pourquoi faire cette distinction ? Je comprends que l'on distingue l'anneau nul des autres anneaux intègres, mais considérer que $0$ n'est pas premier dans un anneau intègre est délirant.

Dans les cours d'algèbre que j'ai eu sous la main on considère toujours que $0$ n'est pas premier bien que l'idéal $\{0\}$ soit premier. En fait la définition d'élément premier est : un élément non nul tel que l'idéal qu'il engendre soit premier.

Par contre pour en revenir à la question de Julia Paule je ne sais pas s'il existe des anneaux intègres (qui ne sont pas des corps) n'ayant aucun élément premier...

Bonjour,

Écrit autrement, n'a-t-on pas ceci ?\[s\not\in{}S\Rightarrow{}sA\cap{}S=\emptyset\]Si $s\not\in{}S$, $sA$ est-il un idéal de $A$ ? Pourquoi ?

Cordialement,

Thierry

Que se passe-t-il si $s\not\in{}S$, avec $s$ non inversible ?

Laissons tomber pour l'instant. Quel est donc le livre dont parle Julia ?

Bonjour,

J'avoue avoir de réels difficultés à comprendre ceci :

Mais dans le cas général (donc $A$ unitaire, commutatif, intègre), je ne vois pas comment prouver que $S$ est non vide.

Pour le collectif Bourbaki, les anneaux sont unitaires [A I.92] (sinon l'on parle de pseudo-anneaux [A I.93]). Un anneau intègre est commutatif [A I.110]. D'autre part, vu que $A$ est intègre, il est clair que\[A\ne\{0\}\text{ et }(\forall\,(x,\,y))\left(\left((x,\,y)\in{}A-\{0\}\times{}A-\{0\}\right)\Rightarrow{x\,y\in}A-\{0\}\right)\]de sorte que l'idéal $(0)=\{0\}$ est premier [A I.111]. Selon Jean Fresnel, un élément $p\in{A}$ est premier ou irréductible si $p\not\in\{0\}\cup{}A^{\times}$ et $p=a\,b\Rightarrow{}a\in{}A^{\times}\text{ ou }b\in{}A^{\times}$ (ce qui revient à dire que les seuls diviseurs de $p$ appartiennent à $A^{\times}\cup{}p\,A^{\times}$). Pour Arnaudiès-Bertin, un élément $p\in{A}$ est irréductible s'il vérifie ce qui précède, premier si l'idéal $p\,A$ est premier. De plus, selon ces mêmes auteurs, si $p\in{}A\setminus\{0\}$ est premier, alors $p$ est irréductible. L'on suppose ici que $0$ n'est pas premier. Comme l'idéal $\{0\}$ est premier dans $A$, alors $\{0\}\in{}J$. Que veux-tu de plus ?

Question : j'aimerais bien savoir quel livre tu utilises, Julia. Est-ce un secret d'état ?

Cordialement,

Thierry

J'ai effectivement l'impression que le la preuve du lemme 5.95 est buguée si $S$ est vide.

Par contre, le lemme est utilisé pour la preuve du théorème 5.96, et dans la preuve du théorème, $S$ n'est pas vide, puisqu'on l'applique à un anneau pour lequel, par hypothèse, tout idéal premier contient un élément premier, donc un élément de $S$.
C'est peut-être un peu insatisfaisant, mais à mon avis le point important est probablement plus le théorème 5.96 que le petit lemme technique qui amène à sa preuve.

Ce que je veux dire c'est que, ok, la preuve du lemme 5.95, si $S$ est vide, elle ne marche pas.

Par contre, j'ai bien l'impression que si $S$ est non vide, elle marche : $J$ est bien inductif, et $A$ n'est pas dedans puisque précisément, $(A \in J) \iff (S \cap A = S = \varnothing)$, et alors tu déroules la suite: par Zorn $J$ contient un élément maximal, cet élément maximal est bien distinct de $A$ puisque $A \not \in J$ et tu montres dans ce cas comme dans 5.95 que cet élément maximal de $J$ est bien un idéal premier de $A$, distinct de $A$.

Dans 5.96, sens $\Leftarrow$, on est dans l'hypothèse "Tout idéal premier non nul contient un élément premier". Donc si on trouve un idéal premier non nul, on prend un élément premier dedans, c'est un élément de $S$, et on applique le lemme 5.95 avec un $S$ non vide. Du coup, pourquoi $A$ a un idéal premier non nul? Car c'est un anneau non nul qui n'est pas un corps. C'est ultra classique (ça s'appelle le théorème de Krull, ça utilise encore Zorn): tout anneau non nul possède au moins un idéal maximal $\mathfrak{m}$. Puisque tout idéal maximal est premier, il faut juste voir que $\mathfrak{m}$ est non nul, mais si $\mathfrak{m}$ est nul, $A = A/\mathfrak{m}$ est un corps (car $\mathfrak{m}$ est maximal).
Du coup pas de soucis, l'hypothèse du sens $\Leftarrow$ te dit bel et bien que lors de l'application du lemme 5.95, tu ne seras pas dans le cas pathologique d'un $S$ vide.

Ah, je crois voir ce qui te gêne: on a montré que (dans la situation de 5.95, $\Leftarrow$), $J$ a un élément maximal et que tout tel élément est premier ("5.95-S-NonVide"), mais pourquoi l'élément donné $c$ serait dans cet élément maximal?

Le lemme de Zorn dit que tout ensemble inductif non vide possède au moins un élément maximal: en fait, c'est possible de le raffiner. Si $J$ est un ensemble inductif et $x$ n'importe quel élément de cet ensemble, alors l'ensemble $J' = \{y \in J | y \in J\ \mathrm{et}\ x \leq y\}$ est encore un ensemble inductif! En effet:

- Il est non vide car il contient $x$.
- Si $C$ est un sous-ensemble totalement ordonné de $J'$, c'est en particulier un sous-ensemble totalement ordonné de $J$. Si $C$ est non vide, tout majorant (dans $J$) de $C$ est dans $J'$: soit $y$ dans $C$, $y \leq m$ et $x \leq y$ donc $x \leq m$ donc $m \in J'$. Sinon, si $C$ est vide, $\{x\}$ est un majorant de $C$ dans $J'$.

Donc, dans notre situation, on peut appliquer Zorn à cet ensemble inductif $J' = \{I \in J, (c) \leq I\}$, et ça nous pond un idéal maximal $P$ dans $J'$, et cet idéal est aussi maximal dans $J$, puisque si $Q \in J$ tel $P \leq Q$, on a $(c) \leq P \leq Q$ donc $Q \in J'$, et $P = Q$ par maximalité dans $J'$. La preuve du lemme 5.95 te dit que les idéaux maximaux dans $J$ (quand ils sont différents de $A$, mais c'est notre cas puisqu'on a pas $S = \varnothing$) sont premiers, et c'est gagné.

Bref: en gros, tu peux toujours raffiner Zorn pour non seulement choisir un élément maximal d'un ensemble inductif, mais aussi le choisir tel qu'il soit au dessus un élément de départ que tu t'es donné.

Je ne savais pas que l'ensemble vide n'est pas inductif. Du coup, je ne savais pas qu'il était nécessaire de prouver la non vacuité de $J$ (1er post), le reste étant évident.