Polynôme caractéristique de produit matrices

André49 · July 2020

Bonjour
Le problème MP1 de Mines 2012 (problème) contient une partie sur le polynôme caractéristique $\Phi_{AB}$ d'un produit de matrices $AB$.
Dans le cas où $A$ n'est pas inversible, on rencontre (dans le corrigé) la phrase suivante.

"On suppose maintenant que $A$ n'est pas inversible. $A$ admet un nombre fini de valeurs propres dans $\mathbb{C}$. Soit $r=\min \{|\lambda|\mid \lambda \in Sp(A)\setminus\{0\}\}$. $r$ est un réel strictement positif."

Mais pourquoi diable "strictement positif" ? $Sp(A)$ ne pourrait pas être réduit à $0$ ? (toutes les valeurs propres sont nulles). Quelque chose m'échappe...

Math Coss · July 2020

Stricto sensu, c'est faux en effet. Il faudrait ajouter « ou c'est $+\infty$ », ce qui rend la suite valide (pour $k$ assez grand, $\frac1k$ n'est pas une valeur propre de $A$).

André49 · July 2020

Dans ce cas, ne faudrait-il pas rédiger ainsi :

On suppose maintenant que $A$ n'est pas inversible. Soit $r=\min \{|\lambda|, \lambda \in Sp(A)\}$.

Si $r>0$, soit $k_0=E(1/r)+1$.
Si $r=0$, soit $k_0=1$.

Ensuite, soit $k\geqslant{k_0}, k \in \mathbb{N}$. Alors $1/k$ n'est pas valeur propre de $A$ et donc $A-(1/k)I_n$ est inversible. Etc, ...

bisam · July 2020

Lorsque $r=0$, pourquoi 1/k ne serait-il pas valeur propre de $A$ ?

André49 · July 2020

Hum, oui... alors :

On suppose maintenant que $A$ n'est pas inversible. Soit $r=\min \{|\lambda|, \lambda \in Sp(A)\backslash{0}\}$.

Si $r$ existe, $r>0$ ; soit $k_0=E(1/r)+1$.
Si $r$ n'existe pas, la seule valeur propre est $0$ ; soit $k_0=1$.

Ensuite, soit $k\geqslant{k_0}, k \in \mathbb{N}$. Alors $1/k$ n'est pas valeur propre de $A$ et donc $A-(1/k)I_n$ est inversible. Etc, ...

Math Coss · July 2020

On peut aussi convenir que $\min(\emptyset)=+\infty$ et il n'y a plus d'histoire : dire que $1/k\le r$ est vérifié pour tout $k$ dans ce cas.

Polynôme caractéristique de produit matrices

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