Notation

Bonsoir,

$\Bbb{F}_p[\text{X}]$ est l'anneau des polynômes en l'indéterminée $\text{X}$ à coefficients dans le corps $\Bbb{F}_p$ de Galois d'ordre $p$ (addition et multiplication se font modulo $p$). Ce corps est canoniquement isomorphe au corps $\Z/p\,\Z$.

Cordialement,

Thierry

$\mathbb F_p[X]$ n'est pas un corps. En fait, quel que soit l'anneau $A$, l'anneau $A[X]$ n'est jamais un corps (exercice !).

Oui mais répondre à la question de Poirot est un bon exercice.

Tu travailles dans un corps $K$ à $4$ éléments qui contient $\mathbb F_2 = \{0, 1\}$. Tu prends $x \in K \setminus \mathbb F_2$ te demandes ce que peut valoir $x^2$. Comme $K$ a $4$ éléments tu sais que $K = \{0,1,x,x+1\}$.

Si $x^2 = 0$ alors $x=0$ car $K$ est un corps, absurde. Si $x^2 = 1$ alors $(x-1)(x+1)=(x-1)^2=0$ (je rappelle qu'on est en caractéristique $2$, donc $-1 = 1$) et $x=1$, absurde. Si $x^2 = x$... À toi !

EDIT : mon raisonnement s'applique dans n'importe quel corps à $4$ éléments, je n'avais pas vu que la construction explicite était faite dans le lien wikipedia, et dans ce cas la réponse de Philippe est la plus immédiate.

Mais enfin, j'ai pris $x \in K \setminus \mathbb F_2$ !

@totem

Si tu veux bien comprendre pourquoi on peut travailler dans « $\mathbb F_p [X]$ modulo un élément de $\mathbb F_p [X]$ » comme dans « $\Z$ modulo un entier », il faut que tu lises sur les groupes quotients, les idéaux d'un anneau commutatif et les anneaux quotients (quotients d'un anneau commutatif par un idéal de cet anneau). Mais ne brûle pas les étapes ! ;-)

C’est quoi $2x$?

Mais si $2x \in K$. C'est juste que $2x=0$ !

Je n'aurais pas du le formuler ainsi. On dispose d'un corps $K$ et d'un élément $x$ de ce corps (on peut oublier tout le contexte précédent). Quand on parle de $x^2$, c'est sous-entendu que l'on parle de l'élément $x \times_K x$, où $\times_K$ est la loi de multiplication dans $K$. Par définition de cette loi, c'est une tautologie de dire que $x^2 \in K$. De même quand on écrit $2x$, on parle vraiment de l'élément $x +_K x$, où $+_K$ est la loi d'addition dans $K$ et c'est tautologiquement un élément de $K$.

En fait il faut faire attention quand on dit "soit $K$ un corps". Rigoureusement c'est "soit $(K, +, \times)$ un corps" : un corps ça vient avec deux lois dans le package. Un même ensemble $K$ peut être muni de plusieurs lois différentes, et selon ces lois l'élément $2x$ peut désigner des choses différentes. Mais dans tous les cas c'est vraiment tautologiquement un élément de $K$.

Voici un exemple pour te faire visualiser "le problème" : Je prends l'ensemble $K = \{0, 1\}$. Je suis sûr que tu sais comment munir cet ensemble d'une structure de corps : on définit la loi $+$ par $0+0=0, 0+1=1, 1+0=1$ et $1+1=0$ et on définit la loi $\times$ par $0 \times 0 =0, 0 \times 1 = 0, 1 \times 0 = 0, 1 \times 1 =1$ et on vérifie sans mal que $(K, +, \times)$ est un corps.

Eh bien maintenant je définis deux autres lois $+'$ et $\times'$ de la manière suivante : $0 +' 0 = 1, 0+'1=0, 1+'0=0$ et $1+'1=1$, et $0 \times' 0 = 0, 0 \times' 1 = 1, 1 \times' 0 = 1$ et $1 \times' 1 = 1$. Alors $(K, +', \times')$ est également un corps.

Si je prends $x=1 \in K$, que vaut $2x$ ? ;-)

Ok, j'attendais plutôt que tu dises "il n'y a pas de réponse car il faut préciser la loi !", mais je pense que tu as compris.

Oui bien sûr $(K, +, \times)$ c'est $(\mathbb Z/2 \mathbb Z, +, \times)$ à peine déguisé.

Mais même si tu étudies n’importe quelle autre notion, il faut toujours se demander si la question posée a un sens.
Ne jamais pabloiser(voilà un joli néologisme).

Ne pas confondre pavoiser et pabloïser :-).

Justement Chaurien, l’absence du tréma n’est pas une lubie :-).

Mille excuses Amathoué, en effet c'est un joli néologisme, dont l'usage est limité aux membres de ce forum. Mais je trouve qu'il serait meilleur avec le tréma. Ou alors, on garde les deux.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Tu as parlé de "corps de polynômes", de "dimension d'un corps" et "corps cyclique" je te rappelle.

@totem j'ai suivi de loin cette discussion et si j'ai bien compris tu potasses des cours en ligne comme tu dis mais tu ne les finis pas. Tu passes d'un cours à l'autre sans terminer au moins quelques chapitres et sans faire les exos s'il y en a.

À mon avis tout ça contribue à créer un désordre mental (les différentes notions ne sont pas bien classées dans la tête de l'individu). Et si je lis ta première question ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2047038,2047038#msg-2047038 je crois ne pas me tromper, car dans n'importe quel cours d'algèbre tu trouveras au bout d'un moment un chapitre qui explique la notation $F_p[X]$. Il ne faut pas être impatient, il faut lire le cours (ou au moins les chapitres qui nous intéressent) et se donner le temps d'absorber ces trucs plus ou moins abstraits, l'idée c'est de rendre tout ça plus concret avec le temps en y réfléchissant via des exos par exemple.

Je ne connais pas ton niveau mais voici deux liens :

Les groupes

Algèbre commutative