Question simple, exercice long
Bonjour,
voilà je suis tombée sur un exercice à multiples questions (en pièce jointe) et avant même de les lire il me semblait évident que l'exercice aurait pu être résolu d'une façon beaucoup plus simple.
On peut parvenir à factoriser à partir de l'équation initiale qui débouche sur un système où l'unique solution est le couple X=1 et Y=0, aussi il existe une autre solution triviale que j'ai trouvée de tête simplement, j'en conviens ce n'est pas très rigoureux, mais ne pourrions-nous simplement pas conclure qu'il existe une infinité de solutions juste à l'existence de ces deux solutions (en considérant notamment que chaque équation du système comme une droite et s'il existe deux points qui se confondent les deux droites sont alors confondues).
Voilà j’espère que j'ai été claire, merci d'avance !
voilà je suis tombée sur un exercice à multiples questions (en pièce jointe) et avant même de les lire il me semblait évident que l'exercice aurait pu être résolu d'une façon beaucoup plus simple.
On peut parvenir à factoriser à partir de l'équation initiale qui débouche sur un système où l'unique solution est le couple X=1 et Y=0, aussi il existe une autre solution triviale que j'ai trouvée de tête simplement, j'en conviens ce n'est pas très rigoureux, mais ne pourrions-nous simplement pas conclure qu'il existe une infinité de solutions juste à l'existence de ces deux solutions (en considérant notamment que chaque équation du système comme une droite et s'il existe deux points qui se confondent les deux droites sont alors confondues).
Voilà j’espère que j'ai été claire, merci d'avance !
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Réponses
tu démontres la propriété pour n = 1, ensuite n = 2 et n = 3
et tu tentes un raisonnement par récurrence qui te permettra de déterminer un système linéaire croisé entre les suites $x_n$ et $y_n$
tu pourras alors résoudre matriciellement ou décroiser le système et donc expliciter les suites $x_n$ et $y_n$ en fonction de n
tu pourras alors en déduire leur sens de variation
cordialement
Bon courage.
Fr. Ch.
x^2-2y^2=1
(x-2^1/2y)(x+2^1/2)=1
ainsi le systeme se construit sur le fait que ce produit est égal à 1, étant donné que x, y sont des entiers j'en ai déduit que chaque facteur est égal à 1, et ensuite j'ai résolu mais en réfléchissant un peu je me demande si le fait que x, y entiers ne signifie pas nécessairement que chaque facteur est égal à un nombre entier, par exemple la première équation est égal à 1/2 et la seconde à 2?
Bon courage.
Fr. Ch.
tu considères les deux suites u et v définies par :
$u_n = (3 + 2\sqrt{2})^n= (\sqrt{2} + 1)^{2n}$ et $v_n = (3 - 2\sqrt{2})^n = (\sqrt{2} - 1)^{2n}$
(u) est suite géométrique de raison $q = 3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} + 1)^2 = tan²\frac{3\pi}{8}$ et
(v) est suite géométrique de raison $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2 = 1/q = tan²\frac{\pi}{8}$
tu constates que les termes de (u) sont tous positifs et croissants avec n et la suite (u) diverge vers +oo
les termes de (v) sont tous positifs et décroissants avec n et la suite (v) converge vers 0+
tu remarques aussi que quelque soit n, le produit $u_n.v_n = 1$ puisque la raison de (u) est l'inverse de la raison de (v)
et d'autre part u(0) = v(0)
la somme arithmétique des n termes de (u) coïncide avec la somme harmonique des n termes de (v)
les deux suites (u) et (v) sont telles que $u_n = x_n + y_n\sqrt{2}$ et $v_n = x_n - y_n\sqrt{2}$
avec $x_n$ et $y_n$ deux suites d'entiers naturels (démonstration par récurrence à partir de $u_{n+1} = (3+2\sqrt{2})^{n+1}$)
tu constates que le produit $u_n.v_n = x_n^2 - 2y_n^2 = 1$ et donc $x_n > y_n$
à partir de $u_{n+1} = (3+2\sqrt{2}).u_n = (3 + 2\sqrt{2})(x_n + y_n\sqrt{2})$ tu établies les deux équations récurrentes croisées :
$x_{n+1} = 3x_n + 4y_n$
$y_{n+1} = 2x_n + 3y_n$
qui te permettent de préciser les variations de $x_n$ et $y_n$ en effet les différences finies
$x_{n+1} - x_n = 2x_n + 4y_n$ et $y_{n+1} - y_n = 2x_n + 2y_n$
sont strictement positives et les suites $x_n$ et $y_n$ sont croissantes strictement
il est possible d'expliciter $x_n$ et $y_n$ en fonction de n : on trouve :
$x_n = \frac{1}{2}(q^n + \frac{1}{q^n})$ et $y_n = \frac{\sqrt{2}}{4}(q^n - \frac{1}{q^n})$
les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont strictement croissantes et divergentes vers +oo (puisque q > 1)
tu as bien démontré l'infinité de nombres entiers couplés tels que $x^2 - 2y^2 = 1$
cordialement