Définition sous-corps

Au cas où ce serait intéressant, je reviens sur ces « pseudo-sous-anneaux » qui n'en sont pas. On peut avoir, dans un anneau $A$, une partie $B$ stable pour les deux lois et dotée d'un élément $u$ qui vérifie : $\forall x \in B, ux=xu=x$, avec $u \neq 1$ et $u \neq 0$. Déjà un tel $u$ doit vérifier $u^2=u$ : c'est un idempotent, ce qui montre qu'une telle situation ne peut advenir dans un corps, ni même dans un anneau intègre.

Déjà, ça arrive dans $\mathbb Z/n \mathbb Z$ dès que $n$ n'est pas primaire. Par exemple dans $\mathbb Z/12 \mathbb Z$, il y a deux idempotents autres que $1$ (et que $0$), ce sont $ 4$ et $9$. Autour de chacun il y a de petits anneaux qui ne sont pas des sous-anneaus stricto sensu. Par exemple $\{0,4,8\}$, qui de plus est un corps.

On observe une situation analogue dans l'anneau (non commutatif) des matrices carrées. Les idempotents sont les matrices de projecteurs, qui donnent naissance à des anneaux qui ne sont pas des sous-anneaux. Il existe sans doute tout plein d'énoncés qui étudient cette situation.

Bonne journée.
Fr. Ch.

VictorTrou, n'inversons pas les choses. Si un ensemble $E$ est muni d'une structure, pour pouvoir dire qu'une partie $F$de $E$ a telle ou telle structure, pour que ceci ait un sens, il faut d'abord être certain que $F$ est stable pour les lois de $E$. C'est sans doute une question d'expression, sous-entendu dans un cas, et tout est dit dans l'autre.