Racines rationnelles de l'unité

Je savais que quelque chose coinçait... merci Maxtimax. As-tu une autre interprétation que celle que tu as évoquée ? Parce que je n'en vois pas ^^'

Pour résumer, $z^{\frac{a}{b}} = e^{\frac{a}{b}\ln(z)}$ et on tombe sur le problème "du" logarithme dans $\mathbb{C}$.

Par contre je ne comprends pas bien la fin de ton message :

"évidemment, si $z^a=1$, il existe une telle racine $b$-ème (rien à voir avec la primalité de a et b)

C'est clair que $1^{\frac{1}{b}}=1$ ? Je pose la question car d'un côté, $1^{\frac{1}{b}}=e^{\frac{1}{b}\ln(1)} = e^0 = 1$ donc je dis oui. Mais d'un autre côté, si je prends $b=2$ par exemple, on a forcé la racine carré d'un nombre à être positive. C'est un choix arbitraire plutôt qu'une conséquence non?.
On aurait pu définir $\sqrt{1}=-1$ comme $\sqrt{4}=-2$ si on avait voulu le faire dans l'autre sens. Comment réconcilier les deux côtés ?

Et si $b>2$, on a encore plus de choix à faire ! Ce n'est tellement pas clair dans ma tête...

D'accord B-)

Pour essayer de conclure, une question : est-ce que je peux dire, par exemple, qu'il existe une racine $3$-ème de l'unité $\mu_3$ telle que $i^{\frac{4}{3}}=\mu_3$ ?

Bonjour jean lismonde,

Sauf que $i^{\frac{4}{3}}$ n'est pas une équation ! D'où ma question : est-ce un nombre ? Et alors ce serait une des racines troisièmes de l'unité... mais laquelle ? Peut-on la choisir comme cela nous arrange ?

Ou est-ce que l'on touche forcément aux fonctions multivaluées (voir ici ) et donc on ne peut choisir ?

Pour ce qui est de l'équation $x^{\frac{1}{n}}=1$, avec $x \in \mathbb{C}$, j'ai eu beaucoup de mal à me convaincre que $x=1$, mais je crois avoir trouvé une démonstration :
$$ (x^{\frac{1}{n}})^n = x^1 = x ~~~~~\mbox{ et } ~~~~~ 1^n=1 ~~ \Rightarrow ~~ x=1 $$
Qu'en pensez vous ?

Je fais ce que je veux, je m'amuse... je ne préférerais pas si je me trompe ! J'hésite plus qu'autre chose à vrai dire, ce qui n'est pas plaisant du tout.

Lorsque je pense à $x^{\frac{1}{n}}$, je l'entends facilement pour $x$ complexe comme pour $x$ réel : sauf que cela devient faux. Alors je me raccroche à $x^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{1}{n} ln(x)}$, qui est casse gueule quand on ne comprend pas bien toutes ces histoires de logarithme lorsque $x$ est complexe.

Pour éviter de dire le plus de bêtises possibles, j'ai relu une bonne dizaine de fois ton dernier message Maxtimax. Il est épais pour moi, je t'en remercie.

Est-ce que je peux le résumer comme cela :
$\bullet$ soit on choisit de définir $x^{\frac{1}{n}}$ comme un ensemble, et à ce moment résoudre une équation du type $x^{\frac{1}{n}}=1$ n'a pas de sens.
$\bullet$ soit on choisit de définir $x^{\frac{1}{n}}$ comme une racine $n$-ème avec un certain critère cohérent (comme l'argument est minimal dans $[0,2\pi[$ par exemple) et après on travaille avec ?

Je te remercie beaucoup Maxtimax mais... il faut que tu développes ! ^^