Foncteur centre du groupe

Bonjour, j'ai vu dans un livre un exercice qui demande de regarder si l'on peut définir un foncteur $Z : Grp \to Grp$ qui envoie un groupe sur son centre, et de même en modifiant la catégorie de départ par celle des groupes munis des morphismes surjectifs.

Pour les groupes avec les morphismes surjectifs ça marche, car on a qu'un élément du centre d'un groupe $G$ est envoyé sur un élément du centre d'un groupe $H$ par un morphisme surjectif, on peut donc définir, pour $f : G \to H$, le morphisme $Z(f)$ comme étant la restriction de $f$ à $Z(G).$
Le souci c'est quand on a simplement les morphismes de groupes, je vois bien que cette construction ne marche pas (on prend par exemple le plongement de $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ dans $\mathfrak{S}_4$) mais je n'arrive pas à montrer plus généralement quoique ce soit. L'exercice a l'air facile puisque c'est demandé sans question intermédiaire, mais là je sèche !