Nombre irrationnel
[size=large]Bonjour[/size]
Je suis tombé sur un exercice qui me demande de démontrer que tout nombre [A est] irrationnel
si
nous avons Un et Vn deux suites d'entiers naturels vérifiant
lim A*Un - Vn tend vers 0 quand n tend vers infini
A= nombre irrationnel.
J'ai essayé d'introduire la densité d'un sous-groupe généré engendré par A, ce qui me gène c'est l'utilisation de ces 2 suites numériques, comment peut-on les associer à 2 sous-groupes différents ?
Merci beaucoup.
Je suis tombé sur un exercice qui me demande de démontrer que tout nombre [A est] irrationnel
si
nous avons Un et Vn deux suites d'entiers naturels vérifiant
lim A*Un - Vn tend vers 0 quand n tend vers infini
A= nombre irrationnel.
J'ai essayé d'introduire la densité d'un sous-groupe généré engendré par A, ce qui me gène c'est l'utilisation de ces 2 suites numériques, comment peut-on les associer à 2 sous-groupes différents ?
Merci beaucoup.
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Réponses
Je crois comprendre ce que tu demandes (par exemple $u_n, v_n$ sont certainement des entiers ?), mais il faudrait que tu corriges et précises ce que tu veux
merci Maxtimax
merci mathoué
J'ai suivi vos conseils et rectifié
Mon exercice me précise bien que ma limite tend bien vers zéro
ps : je suis encore néophyte dans le forum et demande cordialement aux modérateur de déplacer le sujet vers le forum adéquat, merci.
Personne ne dit que ce n’est pas une condition, je dis simplement que c’est incomplet.
Tendre vers $0$ est une chose, être nul en est une autre!
Alain
Si x et y sont des réels strictement positifs, et si G(x, y) désigne le sous-groupe
additif de R engendré par x et y,
si x/y est rationnel, et il existe a tel que G = a Z,
Supposons que G(x, y) soit engendré par a. Il existe p et q entiers tels que
x = pa et y = qa .
Alors
x/y=p/q
et donc x/y est rationnel.
Réciproquement, si x/y est rationnel, il existe p et q entiers premiers entre eux tels que
x/y=p/q
Posons
a =x/p=y/q
On a
x = pa et y = qa ,
ce qui prouve que x et y appartiennent à a Z, donc
.G(x,y) inclus dans aZ
D’autre part, il existe m et n premiers entre eux tels que
mp + nq = 1 .
Donc, en multipliant par a
a = mpa + nqa = mx + ny ,
ce qui montre que a appartient à G(x, y), et donc que a Z est inclus dans G(x, y). On a bien l’égalité
G(x, y) = a Z .
On a démontré que G(x, y) est engendré par un élément a si et seulement si x/y est rationnel. Dans le
cas contraire, que G(x, y) est dense dans R.
Je pense que demontrer que AZ+Z est un fermé m'aidera plus pour une approche logique et une articulation probable avec mes suites , non?
remarqué depuis une belle lurette
mais expliciter ces séries entières par rapport à mes groupes auditifs et dire qu'a chaque groupe additifs corresponds une suite et surtout comprendre le pourquoi
j'avais pensé à une suite Xn qui tend vers mon FAMEUX A oui mais Apres
mes suites correspondent à Un et Vn
sachant que A = Un/Vn=p/q
merci side je pensais effectivement à cela.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]