Groupes libres...

Chat-maths : il y a plus simple pour ton dernier paragraphe : si $X$ est fini et engendre $G$ et $Y$ engendre librement $G$, alors tous les éléments de $X$ s'écrivent avec un nombre fini d'éléments de $Y$, donc un nombre fini d'éléments de $Y$ engendrent $G$. Par liberté, c'est que $Y$ est fini.

Thierry : Le résultat que tu écris est vrai, plus précisément, $R$ est finiment engendré. C'est analogue au cas des modules sur un anneau : si $M$ est un $R$-module de présentation finie, et $f:R^n\to M$ est une surjection ($n$ fini), alors $\ker(f)$ est de type fini.

La preuve que je connais utilise (on peut l'écrire sans évidemment, mais c'est de là que ça vient) une caractérisation catégorique des groupes (resp. $R$-modules, resp. n'importe quoi d'algébrique) de présentation finie.

Théorème : Soit $G$ un groupe. Alors $G$ est de présentation finie si et seulement si $\hom(G,-)$ commute aux colimites filtrées; c'est-à-dire que pour tout système filtrant $(X_i)_{i\in I}$ de groupes, la flèche canonique $\mathrm{colim}_i \hom(G,X_i)\to \hom(G,\mathrm{colim}_i X_i)$ est un isomorphisme.

Preuve : Dans un sens, si $G$ est de présentation finie, c'est très simple : si $f: G\to \mathrm{colim}_i X_i$ est un morphisme, alors les générateurs de $G$ sont envoyés dans une étape finie $X_{i_0}$, et les relations sont tuées dès une étape finie $i_1\geq i_0$, donc $f$ se factorise par $X_{i_1}$, ce qui prouve la surjectivité. De même, si $f : G\to X_i$ et $g: G\to X_j$ deviennent égales dans la colimite, les générateurs de $G$ deviennent égaux dans une étape finie $X_k, k\geq i,j$, et donc $f=g$ dans le côté gauche - cela prouve l'injectivité (remarque que pour l'injectivité on n'utilise que le caractère "de type fini" de $G$).

Réciproquement, si $\hom(G,-)$ commute aux colimites filtrées, en filtrant $G$ par ses sous-groupes de type fini, on obtient facilement que $G$ est un rétract d'un de ses sous-groupes de type fini, en particulier $G$ est de type fini.

De plus [ NB : c'est cette astuce qui nous servira dans l'application de ce théorème ], soit $X$ un ensemble fini de générateurs de $G$ et $f : F(X)\to G$ la surjection canonique ($F(X)$ désigne le groupe libre engendré par $X$). Soit $R:= \ker(f)$, notre but est de prouver que $R$ est de type fini.
On fait pareil : on le filtre par ses sous-groupes de type fini, et alors le système des $F(X)/\overline{N}$ (où $\overline N$ désigne le sous-groupe normal engendré par $N$) pour $N$ sous-groupe de type fini de $R$ est un système filtrant, dont la colimite n'est rien d'autre que ... $G$. En particulier si on utilise à nouveau que $\hom(G,-)$ commute aux colimites filtrées, on obtient une flèche $h : G\to F(X)/\overline N$ pour un certain $N$ telle que la composition $G\to F(X)/\overline N\to G$ est $id_G$.
En particulier, la composition $F(X)/\overline N\to G\to F(X)/\overline N \to G$ n'est autre que le morphisme canonique.
$F(X)/\overline N$ est de présentation finie donc vérifie la première partie du théorème, donc la composition $F(X)/\overline N\to G\to F(X)/\overline N$ et l'identité de $F(X)/\overline N$ deviennent égaux à un stade fini de la colimite: disons avec $M$ contenant $N$, on a $F(X)/\overline N\to G\to F(X)/\overline N\to F(X)/\overline M$ qui est égale à $F(X)/\overline N \to F(X)/\overline M$.

En particulier maintenant $G\to F(X)/\overline M \to G$ est aussi $id_G$, et $F(X)/\overline M\to G\to F(X)/\overline M$ est égale à l'identité aussi (car si je précompose avec la surjection $F(X)/\overline N \to F(X)/\overline M$, j'obtiens elle-même). Donc $G\cong F(X)/\overline M$, $G$ est de présentation finie.

Ce théorème est valable dans n'importe quelle catégorie du type "modèles dans $\mathbf{Ens}$ de $T$", où $T$ est une théorie algébrique (au sens de Lawvere par exemple, ou au sens que j'avais décrit à Homo Topi dans un autre fil), en particulier dans $R-\mathbf{Mod}$ - ça se voie à la preuve (qui peut être simplifiée sur la fin dans certains cas, par exemple dans $R-\mathbf{Mod}$ c'est plus simple de montrer qu'un rétract d'un module de présentation finie est de présentation finie).

Maintenant on va appliquer ça à la question de Thierry : en fait c'est déjà fait dans la preuve. Regardez que pour la réciproque, je suis parti d'un ensemble quelconque de générateurs de $G$, et j'ai montré que pour un certain sous-groupe de type fini du noyau de la présentation $M$, la projection $F(X)/\overline M\to G$ était un isomorphisme. C'est bien que $\overline M$ est le noyau de $F(X)\to G$, et donc que le noyau est de type fini (en tant que sous-groupe normal !!)