Itérés d'un élément

vect · July 2020

Bonjour à tous,
j'ai lu dans une correction d'un exercice un point qui me laisse perplexe.

Le contexte : Un ensemble E quelconque, muni d'une loi de composition interne, associative et a un élément appartenant à cet ensemble.
Ce qui me perturbe : les itérés de a sont bien définis car la lci est associative.

Je ne comprends pas pourquoi on a besoin de l'associativité de la lci pour que les puissances de a existent ? Puisque les puissances de a commutent, et ce quelque soit la lci (rectifiez-moi si je me trompe).
Quelqu'un pourrait m'éclaircir ce point svp ?
Merci d'avance pour votre réponse !

Julia Paule · July 2020

Bonjour,

Prends une loi de composition interne non associative, par exemple dans $\R$, la loi $a.b=a-b$. Alors $a^n$ n'a pas de signification, son résultat dépend de l'ordre dans lequel on compose les éléments.

Poirot · July 2020

On peut remarquer que les problèmes apparaisse à partir de $a^3$. S'agit-il de $(a*a)*a$ ou de $a*(a*a)$ ?

vect · July 2020

Merci pour vos réponses!

@Poirot : c'est justement ce point que je ne comprends pas. Dans le premier cas :

a*(a*a)= a*(a²)
a*(a*a)=a^3

Dans le second cas : (a*a)*a = a²*a
donc (a*a)*a = a^3

Je sais que mon raisonnement est faux mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi?

P.s : vous pourriez me dire comment on faire pour coder en latex ici svp ? (:

Poirot · July 2020

Bah le problème c'est que ça ne veut rien dire $a^3$ quand ta loi n'est pas associative. C'est ce que j'essaye de te dire. Rien ne te garantit que $(a*a)*a=a*(a*a)$ et si ce n'est pas le cas, lequel des deux souhaites-tu appeler $a^3$ ? Il n'y a pas de bonne réponse.

Pour le $\LaTeX$ il te suffit de taper tes formules entre dollars.

vect · July 2020

@Poirot : Ok d'accord, je vois ce que tu veux dire! Merci bien!

Itérés d'un élément

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 22