Nombre de $G_x$-orbites indépendant de $x$

Mrs.Robinson
Mrs.Robinson
dans Algèbre
Bonsoir,

on considère $G$ un groupe d'ordre fini agissant transitivement sur un ensemble $E$.
On note $G_x$ le stabilisateur de $x$.
Montrer que le nombre de $G_x$-orbites est indépendant de $x$.

Tout d'abord $G_x$ étant un sous-groupe de $G$, on peut restreindre $G$ à $G_x$ qui agit sur $E$, l'action n'étant cette fois pas transitive.
Soit $y$ un élément de $E$ distinct de $x$, alors l'action de $G$ étant transitive, $x$ et $y$ sont dans la même unique $G$-orbite. Par conséquent on sait que $G_x$ et $G_y$ sont conjugués.

A partir de là je suis bloquée...

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Disons que $gx = y$. Alors $gG_xg^{-1} = G_y$, c'est ce que tu as déjà dit, mais en fait ça va vouloir dire que $G_x$ et $G_y$ agissent "de la même manière sur $E$"

    Plus précisément, considère $f:E\to E, a\mapsto ga$. Cette application est un morphisme $G_x$-équivariant, où le $E$ de gauche a l'action usuelle par restriction, et le $E$ de droite a l'action donnée par $h\star b := ghg^{-1}b$. C'est juste un tout petit calcul; et cette deuxième action "est" l'action de $G_y$ sur $E$.
  • Mrs.Robinson
    Mrs.Robinson
    Merci pour ton aide,
    cependant la notion de morphisme équivariant m'est étrangère.

    Voyons ce que j'ai compris.

    On a deux actions de $G_x$ sur $E$. La première est l'action initiale, et la deuxième est l'action définie par l'application $G_x\times E\to E$, $(h,x)\mapsto (ghg^{-1}).x$.
    Alors il paraît clair que cette dernière correspond à l'action de $G_y$ sur $E$ puisque $G_y=gG_xg^{-1}$
    Il resterait donc à montrer que ces deux actions de $G_x$ sur $E$ produisent les mêmes orbites.

    Cela correspond-il à ce que tu as expliqué ?
  • Amathoué
    Amathoué
    J’ai compris la même chose que toi. Sauf que le verbe « montrer » à la fin est un peu fort.
  • Mrs.Robinson
    Mrs.Robinson
    Pourquoi dis-tu qu'il est un peu fort ?
  • Amathoué
    Amathoué
    Eh bien il me semble clair que l’isomorphisme $f$ de Maxtimax, dit exactement que pour tout $g$, il y a autant de $G_x$-orbites que de $G_{gx}$-orbites.
  • Mrs.Robinson
    Mrs.Robinson
    $f:E\to E$, $x\mapsto gx$ est une application bijective mais pas un morphisme puisque $E$ n'est pas un groupe
    C'est bien cette histoire de morphisme $G_x$-équivariant qui me chagrine...
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonsoir,

    Cf. ceci, intertitre "Formalization".

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Amathoué
    Amathoué
    Oui, je voulais simplement dire que pour tout $g \in G$, $\rho_x (g)= f^{-1} \circ \rho_{gx} (g) \circ f$ où $\rho_x$ désigne l’action de $G_x$ sur $E$.
  • Mrs.Robinson
    Mrs.Robinson
    Merci Thierry Poma,

    Si j'ai bien compris :
    $\forall h\in G_x$, $\forall a\in E$ on a d'une part $f(h.a)=gh.a$ et d'autre part $h.f(a)=ghg^{-1}f(a)=ghg^{-1}g.a=gh.a$.
    Donc $f(h.a)=h.f(a)$ et $f$ est donc bien $G_x$-équivariante.

    Ainsi, $f$ étant bijective, les deux actions considérées fournissent les mêmes orbites.
  • Amathoué
    Amathoué
    Amathoué a écrit:
    Oui, je voulais simplement dire que pour tout $g \in G$, $\rho_x (g)= f^{-1} \circ \rho_{gx} (g) \circ f$ où $\rho_x$ désigne l’action de $G_x$ sur $E$.

    Je devrais plutôt écrire cela comme ça:

    Pour tout $g\in G$, $\rho_y (g)= f \circ \rho_x (g) \circ f^{-1}$ (*) où $\rho_x$ désigne l’action initiale de $G_x$ sur $E$, $\rho_y$ désigne alors l’action de $G_y$ sur $E$. C’est immédiat avec $G_y=gG_x g^{-1}$.

    Il me semble que (*) dit que, $f$ étant une bijection, les actions sont équivalentes. Pourrais-tu confirmer(ou non) Maxtimax?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Alors j'ai du mal à lire les notations écrites comme ça à la suite sans diagramme explicatif :-D
    Mais, Amathoué, oui, c'est ce que je dis.

    En fait il y a deux énoncés: 1- j'ai une bijection $G_x$-équivariante entre $E$ et $E$ avec les deux actions différentes, donc même nombre d'orbites pour ceux-là; 2- pour la deuxième action de $G_x$ sur $E$, j'ai un isomorphisme entre $G_x$ et $G_y$ qui est compatible aux actions respectives de ceux-là, donc même nombre d'orbites pour ceux-là.

    Ensuite on recolle les bouts car $=$ est transitive ( :-D ).
  • Amathoué
    Amathoué
    (tu)
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