Groupe avec un nombre fini de sous-groupes

@Poirot,
je bloque pour montrer l'injectivité de $\phi : k \mapsto x^{k}$

En écrivant : $p \in \ker(\phi) : \phi(p) = 1_{G} \Leftrightarrow x^{p} = 1_{G}$

Je ne vois pas quel argument utiliser pour conclure que $p=0$? (car c'est plus une définition des itérés de $x$ selon moi, sauf erreur de ma part)

Et lorsque tu dis : "Ensuite, si $G$ admet un élément d'ordre infini, alors $G$ admet un sous-groupe isomorphe à $\mathbb{Z}$, qui contient donc une infinité de sous-groupes, et ces sous-groupes sont aussi des sous-groupes de $G$ bien sûr, ce qui contredit l'hypothèse"

J'aurais voulu savoir comment faire pour démontrer que les sous-groupes de $\mathbb{Z}$ sont aussi des sous-groupes de $G$?

@poirot : quand je disais "J'aurais voulu savoir comment faire pour démontrer que les sous-groupes de $Z$ sont aussi des sous-groupes de $G$?", je sous-entendais : "J'aurais voulu savoir comment faire pour démontrer que les sous-groupes de $Z$ sont aussi des sous-groupes de $G$ dans le contexte de l'exercice?"

pour si $x^{p} = 1_{G}$ alors $x$ est d'ordre fini or on a supposé que $x$ était d'ordre fini donc $ \forall p \in \mathbb{Z}$, $x^{p} \neq 1_{G}$, mais dans ce cas, comment conclure que $p=0$? Est-ce que tu pourrais me dire ce qui ne va pas dans mon raisonnement stp?

Pour montrer que $\varphi^{-1}(A)$ est un sous-groupe de $H$ (où $A$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$) :

- on note $\diamond$ la lci associée à $H$ et $\triangle$ la lci associée à $\mathbb{Z}$.

- $\varphi^{-1}(A)$ est non vide car $1_{G} \in \varphi^{-1}(A)$ (puisque $\varphi$ est un morphisme de groupes).


- Soit $x$ , $y \in \varphi^{-1}(A)$ $\Leftrightarrow x \in \varphi(A)$, $y \in \varphi(A)$, et donc :

$\varphi(x \diamond y^{-1}) = \varphi(x) \triangle \varphi(y^{-1})$
$\varphi(x \diamond y^{-1}) = \varphi(x) \triangle (\varphi(y))^{-1}$ (car $\varphi$ est un morphisme de groupes)

de plus : $(\varphi(y))^{-1} \in A$ car $A$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$, et comme $\triangle$ est une lci sur $\mathbb{Z}$, elle est à plus forte raison une lci sur $A$ donc :
$\varphi(x \diamond y^{-1}) = \varphi(x) \triangle (\varphi(y))^{-1} \in A$, donc $x \diamond y^{-1} \in \varphi^{-1}(A)$

Ainsi, $\varphi^{-1}(A)$ est un sous-groupe de $H$.

Même démonstration, pour montrer que : $\varphi^{-1}(B)$ est un sous-groupe de $H$.

Quand tu dis : "si $A$ et $B$ sont deux sous-groupes distincts de $\mathbb{Z}$", cela signifie que $A$, $B$ sont deux sous-groupes de $\mathbb{Z}$ et que $A \neq B$?

@Poirot :

je comprends ta remarque en prenant sa négation.

Tu me dis "$x$ est d'ordre infini pour tout $p \in \mathbb{Z}$, $ x^{p} = 1_{G} \Rightarrow p=0$"

donc $x$ est d'ordre fini $\Leftrightarrow \lnot$ (pour tout $p \in \mathbb{Z}$, $ x^{p} = 1_{G} \Rightarrow p=0)$"

i.e $x$ est d'ordre fini $\Leftrightarrow \exists p \in \mathbb{Z}$, $ x^{p} = 1_{G}$ et $p \neq 0$ $\Leftrightarrow \exists p \in \mathbb{Z}^{\star}$, $x^{p}=1_{G}$ (et on retombe sur la définition)


Mais si on va dans l'autre sens, i.e partir de la définition d'ordre fini (pour un élément) pour arriver à sa négation :

$x$ est d'ordre fini $\Leftrightarrow \exists p \in \mathbb{Z}^{\star}$, $x^{p}=1_{G}$

$x$ est d'ordre infini $\Leftrightarrow \lnot$ $(\exists p \in \mathbb{Z}^{\star}$, $x^{p}=1_{G})$ $\Leftrightarrow \lnot$ $(\exists p \in \mathbb{Z}$, $x^{p}=1_{G}$ et $p \neq 0)$ $\Leftrightarrow$ $\forall p \in \mathbb{Z}$, $(x^{p} \neq 1_{G}$ ou $p=0)$

Le problème c'est que je n'arrive pas à retomber sur ce que tu m'as dit, du coup, je pense qu'il y a quelque chose de faux dans ce que j'ai fait, est-ce que tu pourrais m'éclairer stp?

@ christophe c : pourrais-tu me détailler ta remarque (dans le cadre de l'exercice) stp?

@Amathoué :
est-ce que tu me pourrais me dire ce qui coince dans mon raisonnement du dessus stp? (ou quelqu'un d'autre que amathoué)

@Amathoué :

Pour récapituler :

ce que me dit poirot : "$x$ est d'ordre infni" $\Leftrightarrow \forall p \in \mathbb{Z}$, $x^{p} = 1_{G} \Rightarrow p = 0$

ce que je trouve à la fin : "$x$ est d'ordre infini" $\Leftrightarrow \forall p \in \mathbb{Z}$, $x^{p} \neq 1_{G}$ ou $p = 0$.

Dire que $\Leftrightarrow \forall p \in \mathbb{Z}$, $x^{p} \neq 1_{G}$ ou $p = 0$ revient à dire que l'on ait : $x^{p} = 1_{G}$ seulement pour $p=0$, non?

Si tel est le cas, alors j'ai l'impression que la remarque de poirot et la mienne coïncident.

@Amathoué : d'accord, merci à toi (: