Équivalence premier

Bonjour
Je suis sur un exercice.

Soit $A$ un anneau intègre qui n'est pas un corps. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
i) $r$ est un élément premier de $A$,
ii) $r$ est un élément irréductible de $A$, et $\forall a \in A,\ (a) \cap (r)$ est un idéal principal de $A$ ; de plus si $r$ ne divise pas $a$, alors $(a) \cap (r)=(ar)$.

C'est ok pour $i) \Rightarrow ii)$.
Pour $ii) \Rightarrow i)$, il me semble qu'il suffit de supposer : $r \ne 0,\ r \notin U_A$ et $\forall a \in A$ tel que $r$ ne divise pas $a$, alors $(a) \cap (r)=(ar)$, cela suffit pour montrer que $r$ est premier ?
Merci d'avance.