Godement et le nullstellensatz

Salut JJ,

connaissant ton expertise en géométrie, j'ai des doutes sur ce que tu cherches, je ne connais pas bien les passerelles d'expertise. Je ne sais pas si tu veux faire une exégèse historique ou si tu veux des preuves du TDZ.

Je peux partager avec toi ce que je sais de ce sujet:

Tu as essentiellement (selon moi) 2 familles de preuves: une avec les sémantiques (1), une avec les syntaxiques (2).

1/ Les sémantiques sont "triviales" pour qui aime bien les cardinaux et la logique. Si le corps n'est pas dénombrable, tu prends un idéal maximal (ici l'axiome du choix n'est qu'un confort en fait, en y regardant de près tu le retires facilement) contenant tes équations et travailles dans le quotient, une des indéterminées, disons $X$, et tu regardes la décomposition, pour chaque élément $a$ du corps de l'inverse de $X+a$ dans la famille génératrice dénombrable des monômes.

Il existe une sous famille finie de tels monomes $M_1,..,M_k$ et un ensemble infini $E$ tel que chaque inverse de $X+a$ est combinaison linéaire des $M_i$. Une liaison $\sum_i b_i \times InverseDe(X+a_i) = 0$ te donne un polynôme à coefs dans $K$ annulant $X$

Le passage de non dénombrable à quelconque pour le corps est purement logique (donc demande-moi si ce point t'intéresse plus particulièrement)

2/ "Les" syntaxiques sont des variantes du fait que la théorie des corps algébriquement clos "élimine les quantificateurs" comme on dit en logique.

Ici, c'est la partie "triviale" du mécanisme, car tu as $\forall x: ([ P_1=0\wedge P_2=0\wedge ..]\to 0=1)$, qui se réécrit en :

$$[pgcdDes(P_i)=0]\to 0=1$$

qui devient "bêtement" le TDZ une fois que tu as épuisé les $\forall$. Et j'imagine que les preuves "algébriques calculatoires" ne sont que des examens à la loupe de cette remarque.

Notations:
$\wedge$ veut dire "et"
$\to$ veut dire "implique"

Après tout dépend aussi ce que tu veux en faire. L'effectivité a très vite ici ses limites car c'est au moins NP-dur. On peut simuler n'importe quelle question de logique propositionnelle à coup de systèmes sur n'importe quel corps.

Le TDZ est une émergence de ça: tu vas transformer des raisonnements de logique prositionnelle en calculs de polynomes qui sont dans l'idéal engendré par d'autres polynômes. C'est fastidieux à la main.

Mais essentiellement, le "truc pénible" se résume à ce qu'une même variable apparaisse dans plusieurs équations. Là, tu as des disjonctions de cas, en nombre fini, mais qui explose vite. Donc le TDZ est surtout "un pièce de musée", disant que "c'est possible en théorie".

Par exemple tu veux résoudre

$ax+b = 0 $ et $7dx^2+e+2=0$ et $a+b+c+d+e=18$ avec les inconnues $x,a,b,c,e$, bin $x$ apparait dans deux équations. Faut "le virer".

Tu calcules le PGCD de $7dX^2+e+2$ et $aX+b$ qui va être une expression en $a,b,c,d,e$, avec des distinctions de cas selon que $d=0$ ou pas. Puis tu vas demander qu'elle soit nulle, ce qui te fera une condition sur $a,b,c,d,e$.

Si ce pgcd avait un degré non nul en $X$, tu demanderais que ou bien les coefficients non constants ne soient pas tous nuls ou bien que le coefficient constant soit nul. Et pis, tu remontes ces assertions logiques en calcul que "machin = 1 " (ou pas quand ton système a des solutions) où machin est censé être pourtant dans l'idéal

L'exemple le plus simple c'est par exemple de demander que $X=2$ et $X=3$. Et bien $(X-2) - (X-3) = 1$

Autre exemple: demander $x^2 = 3$ et $x+1 = 5$

Autrement dit $x^2-3=0$ et $x-4=0$

$(x^2-4x) - (x^2-3) = 3-4(x-4) -16$ est un écriture qui te donne $0=-13$ et il n'y a plus qu'à multiplier par $-1/13$ pour obtenir $0=1$.

Le TDZ dit juste que ça marche tout le temps de jouer à ça. On peut toujours arriver à $0=1$ (ou à prétendre légitimement qu'il y a des solutions).

Je reviens avec un sentiment que j'ai été peut-être un peu impoli, donc je répare.

Sur l'élimination de "indénombrable", je t'ai donné une méthode générale qui peut s'utiliser dans bien des domaines, et pas seulement en algèbre.

Mais, j'ai omis, car je l'avais récemment signalé à Martial et voulais mettre un lien, de te décrire en fait comment "psychanalytiquement", l'argument infinitiste devient lui-même un argument purement syntaxique.

Je te décris donc un algorithme sans inspiration directement tiré de l'idée d'indénombrabilité exploitée et qui pourtant ne fait pas usage de grands infinis.

1/ Tu rajoutes des lettres que tu considères comme des constantes. A noter que $3$ nous apparait un objet familier, mais objectivement, c'est juste un symbole. L'ajoute de lettres ne doit pas effrayer.

2/ Tu considères, en notant $x:=(x_1,..,x_9)$ ton uplet-Des-Inconnues, l'affectation $x:=a$, où $a:=(a_1,..,a_9)$ est un uplet de lettres que tu as rajouté.

3/ Ton système qui est un idéal de départ vient donc se voir augmenté des éléments $x_i-a_i$ pour $i$ de $1$ à $9$.

4/ Evidemment, ce nouvel idéal contient $1$. (Ou sinon, c'est gagné)

5/ Tu as des monômes (composés uniquement des inconnues, sans constantes), $e_1,..,e_{154}$ qui sont tels que :

$$ (x_1-a_1) (c_1(a)e_1 + .. + c_{154}(a)e_{154}) = 1 $$

est déclaré vrai par l'idéal $J$ de départ auquel tu as ajouté les $x_2-a_2, .. , x_9-a_9$

6/ J'oublie $a_2,..,a_9$ (ie je les considère psychologiquement comme des éléments connus du corps initial), et je renomme $x_1,a_1$ en $x,b$.

7/ Le calcul $ (x-a) (c_1(a)e_1 + .. + c_{154}(a)e_{154}) = 1 $ continue d'être exploitable, modulo des modifications mineures et triviales.

8/ On va ajouter des indices artificiels, donnant:

$$ (x-b_k) (c_1(b_k)e_1 + .. + c_{154}(b_k)e_{154}) = 1 $$

pour tout $k$. C'est un peu pénible ce passage, pardon.

9/ Tu regardes la matrice qui a $154$ colonnes et $155$ lignes, en faisant varier $k$ de $1$ à $155$, la kième ligne étant:

$$ c_1(b_k), .., c_{154}(b_k)$$

10/ Ses lignes sont liées, ce qui in fine, te lie ce que tu estimes être psychologiquement les $\frac{1}{x-b_k}$.

11/ Cela te donne un polynôme $R$ qui annule $x$.

12/ Tu le scindes (à l'arrache, tu ajoutes ses racines avec des lettres, par exemple les $\lambda_i$

13/ Tu ajoutes tour à tour à $J$ le polynôme $x-\lambda_i$ et récupères un polynôme $Q_i$ tel que, selon $J$:

$$ Q_i(x-\lambda_i ) = 1 $$

14/ En multipliant les $Q_i(x-\lambda_i )$ entre eux, tu obtiens finalement un polynôme $S$ tel que selon $J$:

$$ S\times R(x) = 1$$

15/ Et finalement, tu as obtenu $1\in J$. Tu es maintenant paré pour éliminer $x_2-a_2$ :-D

@JJ, voici un algorithme entièrement programmable.

1/ On suppose les variables numérotées. On dispose le système de manière triée de façon que les équations contenant $X_1$ soient en premier, suivi de celles contenant $X_2$, etc.

2/ On regarde la première équation (E1), disons

$$aX_1^9+\dots = $$

3/ On ajoute au système l'équation $a=0$.

4/ S'il l'accepte tout va bien, sinon, il renvoie $aQ-1$ comme élément de son idéal. Dans ce cas, on multiplie $E1$ par $Q$, ce qui donne

$$ X_1^9+\dots = 0$$

5/ On recommence avec $E2$, etc

6/ La seule situation non triviale est celle où les deux premières équations du "nouveau", mais équivalent système sont de la forme :

E1: $X_1^9+P= 0$
E2: $X_1^7+Q=0$ (par exemple)

7/ On ajoute au système $X_1=0$ pour obtenir (sauf s'il l'accepte), un élément $XR-1$ dans l'idéal

8/ On change la deuxième équation en $P-X_1^2Q=0$

9/ On continue.

10/ Si $X_1$ n'apparait que dans la première équation, unitaire en $X_1$, on la vire épiCtou

Edit: attention, à l'exécution, ça peut tout de même boucler dans des situations, qui sont en fait triviales humainement, je modifierai ce post pour parer à ça.

Je laisse en exercice d'associer un ordinal à chaque système de sorte que ce que je viens de décrire fait systématiquement descendre, à chaque pas, l'ordinal associé, entrainant que la procédure termine forcément.

A l'exécution de ce programme, tu obtiens un système au moins aussi exigeant et séparé (ie chaque inconnue apparait dans une seule équation et chaque équation ne contient qu'une seule inconnue). Ou alors tu obtiens la preuve que $1$ est dans son idéal. Ca a aussi l'avantage de montrer que le TDZ est récursif, ie que tu as un programme qui trouve effectivement la réponse voulue.

Pour être très précis, mais je ne les touche pas encore du doigt, j'espère prouver un jour, avant de mourir 2 théorèmes:

T1/ De n'importe quelle façon qu'on joue avec un système d'équations polynomiales dans un corps algébriquement clos, on le résout sauf à faire exprès de rater son coup

T2/ De n'importe quel façon qu'on colorie un graphe, sauf à faire exprès d'être très mauvais, on le colorie avec pas plus de couleurs que son nombre d'Hadwiger.

Et probablement quelques autres de ce jus.

Mais comme tu as vu, c'est encore très bordélique dans ma tête. Mais je force je force....

cc a écrit:

Si j'y arrivais le T2 me rapporteraitle prix Abel, mais je ne sais pas de quelle somme il est dôté. Je suis trop vieux pour la MF qui est financièrement plus intéressante je crois

La médaille Fields, c'est 10 000 €, le prix Abel, 700 000 €.

Quand on aime, on ne compte pas.
...

@JJ: je te mets un lien vers une discussion très proche au cas où tu ne l'aurais pas vue, et où à partir de mon post, Claude a aussi enrichi. En effet, comme je me suis répété et répété sans jamais "touché le graal" dans le présent fil, c'est bcp plus lourd de revenir à la problématique telle que ré-évoquée dans le lien:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2057980,2059942#msg-2059942