Anneau intègre et définitions

Julia Paule
Julia Paule
dans Algèbre
Bonjour,

Petite question en passant : pourquoi suppose-t-on au préalable que l'anneau $A$ est intègre dans certaines définitions, pêle-mêle :
élément irréductible, élément premier, éléments associés, éléments premiers entre eux, pgcd, ppcm, anneau euclidien, anneau factoriel (et d'ailleurs pas anneau principal), etc...
Je comprends pourquoi il faut supposer $A$ unitaire et commutatif le plus souvent (si pas unitaire, pas d'inversibles, si pas commutatif, tous les calculs sont à revoir), mais pas pourquoi intègre.

Ces définitions n'auraient pas de sens dans un anneau qui n'est pas intègre, ou une autre raison ?

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    On le suppose dans anneau principal en général je crois (en tout cas les définitions que j'ai vues le supposaient)

    Il y a différentes raisons selon les cas je suppose. Souvent c'est que la notion perd son intérêt dans le cas non intègre, ou que les exemples qui nous intéressent sont tous intègres. Je n'ai pas d'exemple ultra précis en tête mais réfléchis par exemple à la preuve que "premier implique irréductible" pour un élément

    Les notions que tu mentionnes sont des trucs d'arithmétiques donc en général on.les applique à des anneaux d'entiers par exemple, qui sont automatiquement intègres.

    Mais c'est une bonne question, j'espère que d'autres auront plus à dire
  • christophe c
    christophe c
    C'est pas toi max qui as rappelé récemment et à juste titre que pour mériter l'appellation premier un idéal doit contenir un des items quand il contient le produit d'une famille finie d'idéaux?

    Du coup est-ce que ça ne jouerait pas dans certaines preuves de manière sensible?

    De mon téléphone
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    christophe: Oui, ça me ressemble de dire ça :-D , mais je ne suis pas sûr de voir le lien...
    L'intégrité de $A$ joue de manière sensible dans certaines preuves (j'en ai mentionné une, un peu bateau), mais je ne suis pas sûr qu'elle joue de la manière que tu sembles suggérer
  • claude quitté
    claude quitté
    Théorie de la divisibilité : l'anneau est intègre sans discussion. Pourquoi ? Parce qu'il suffit d'étudier la théorie de la divisibilité.
  • christophe c
    christophe c
    Bin des fois dans des récurrences où on doit traiter n=0 je me disais que peut être ça catalyserait des souvenirs.

    De mon côté j'ai le vague souvenir que A est principal ssi tout module gnangnan sur A blabla

    où l'intégrité de l'anneau est donc impliquée par le sens droite => gauche. Mais me rappelle pu précisément
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Non le sens droite => gauche n'implique pas l'intégrité. Si tu prends un anneau principal $A$ et un idéal non premier $(a) \subset A$, alors $A/(a)$ est "principal sauf intègre", et il satisfait le théorème de structure (facile : un modèle sur $A/(a)$ te donne un module sur $A$, qui satisfait le théorème de structure, puis en analysant les annulateurs tu vois que c'est le théorème de structure sur $A/(a)$)
  • christophe c
    christophe c
    Je ne sais pas si c'était le structure. Je suis QUASI SUR que c'était un "ssi". Je rechercherai
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Alceste
    Alceste
    Bonjour,
    Je précise le message de Claude Quitté.
    Il me semble qu'une des raisons pour lesquelles les anneaux intègres sont si importants est la suivante.
    Pour a et b des éléments non nuls d'un tel anneau A, on a l'équivalence:
    Aa = Ab si seulement si a = ub où u inversible de A.
    C'est faux dans un anneau non-intègre. Voici un contre-exemple (il y en a sans doute de plus simples, je suis preneur...).
    Soit k un corps et A le quotient de k[X,Y,Z] par l'idéal principal engendré par Z(1 - XY). Si x, y, z désignent les classes dans A de X,Y,Z, on a: z = zxy.
    D'où a = z divise b = xz et b = xz divise a = zxy.
    (a et b sont non nuls car ni Z ni ZX ne sont multiples de Z(1 - XY) dans k[X,Y,Z]).
    Or un inversible u de A est la classe d'un polynôme U tel que
    UV = 1 + RZ(1 - XY).
    D'où U(X,Y,0) = c constante non nulle de k.
    Si l'on avait z = uxz, on aurait dans k[X,Y,Z]
    Z = UXZ + SZ(1 - XY)
    et par intégrité de k[X,Y,Z]:
    1 = UX + S(1 - XY).
    En particulier:
    1 = U(X,Y,0)X + S(X,Y,0)(1 - XY)
    d'où
    1 - cX = S(X,Y,0)(1 - XY)
    ce qui est impossible en regardant le degré en Y.
    Cordialement.
  • claude quitté
    claude quitté
    Bonjour Alceste,
    Attention : j'ai bien précisé ``en théorie de la divisibilité'' (les anneaux qui interviennent en), cf le deuxième point ci-dessous.

    $\bullet$ J'ai regardé (rapidement) ton exemple. Sais tu quels sont les inversibles dans ton anneau quotient contre-exemple ? Un autre exemple, lorsque l'on veut disposer de $y = ax$ et $x = by$ sans que $x,y$ ne soient associés (via un inversible) consiste à prendre l'anneau générique
    $$
    R = \Z[x,y,a,b] = { \Z[A,B,X,Y] \over \langle Y - AX, X - BY\rangle}
    $$Avantage : on n'a pas à se triturer les méninges pour chercher un exemple. On met $\Z$ à la base pour calmer les unités. Il y a un peu de travail pour montrer qu'il convient et le premier (et principal) job consiste à montrer que le groupe des unités $R^\times$ est réduit à $\{\pm 1\}$.

    $\bullet$ C'est quoi pour moi la théorie de la divisibilité ? C'est ``la totale'' au sens de Bourbaki qui intègre (ah ah) dans le désordre les anneaux principaux, euclidiens, factoriels, de Dedekind, de Krull et bien d'autres. Cela commence chez cet auteur, dans Algèbre Commutative, par le chapitre 6. Valuations (les anneaux de valuation y sont intègres et permettent de mettre au point le fameux critère valuatif d'intégralité) puis le chap. 7 Diviseurs. Bien entendu, TOUS les anneaux y sont intègres.

    Je termine par une anecdote à propos de ces 2 chapitres 6 et 7 de Algèbre Commutative, anecdote que j'ai déjà citée. Pages 116-117 de la correspondance Grothendieck-Serre. Grothendieck, dans une lettre à Serre (19-10-1961) écrit , page 116, que ces deux chapitres sont indignes de Bourbaki et qu'il a proposé à plusieurs reprises le vidage pur et simple du chapitre 6. Et page 117 dit tout le mal qu'il pense du 7 (chapeau Krullant ...etc..)

    Serre lui répondra qu'à Bourbaki, cela ne se passe pas comme cela. Page 125 : je (= Serre) persiste pourtant à les garder car $n$ rédacteurs ont sué dessus, il n'y a rien à reprocher au fourbi ..etc...
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Bonjour,

    Merci à tous. En y regardant de plus près, c'est vrai que dans tout ce qui concerne ce que vous appelez l'arithmétique (élément premier, irréductible, pgcd, ppcm, ...), la simplification par un élément non nul dans un anneau intègre est partout utilisée.

    @Alceste, merci pour ton exemple. Dans un anneau intègre, deux éléments qui génèrent le même idéal sont "presque" égaux, i.e. égaux à une unité près (les pgcd, ppcm par exemple sont définis à une unité près), ce qui est faux en général dans un anneau non intègre. Les contre-exemples ne paraissent pas faciles à trouver, j'en ai cherché un autre dans les quotients de $\Z$, les produits de quotients, ..., sans succès.

    @claude quitté, je ne sais pas ce que donnerait la notion de divisibilité dans un anneau non intègre, celles d'élément irréductible, pgcd, ppcm, ...

    Pour info, dans mon livre, un anneau principal n'est pas forcément intègre.

    Je n'avais pas encore vu le dernier message de claude quitté en répondant.
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