Formuler une équation
dans Algèbre
Bonjour tout le monde
Je ne sais pas trop où poser cette question, mais elle me semble relever de ce forum.
Dans l'absolu et sauf erreur de ma part, cette équation admet les solutions réelles 2,3,4,5,6,7.
Je me demandais comment la formuler précisément, afin que les solutions x=3 et x=4 soient également admises. En effet, si on la voit comme une équation exponentielle, en imposant la condition que la base est strictement positive, on écarte de facto ces deux solutions.
Merci d'avance pour vos remarques à ce sujet.
Robert
Je ne sais pas trop où poser cette question, mais elle me semble relever de ce forum.
Dans l'absolu et sauf erreur de ma part, cette équation admet les solutions réelles 2,3,4,5,6,7.
Je me demandais comment la formuler précisément, afin que les solutions x=3 et x=4 soient également admises. En effet, si on la voit comme une équation exponentielle, en imposant la condition que la base est strictement positive, on écarte de facto ces deux solutions.
Merci d'avance pour vos remarques à ce sujet.
Robert
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Réponses
ton trinôme x² - 7x + 11 s'annule pour deux valeurs de x soient approximativement 2,3 et 4,6
il convient donc que les valeurs de x soient en dehors de l'intervalle [2,3 ; 4,6] (la base de l'exponentielle étant forcément positive)
en considérant le logarithme népérien de chaque membre de ton équation il vient :
$(x - 7)(x - 6)ln[x² - 7x + 11] = 0$
le trinôme x² - 7x + 11 prend la valeur 1 pour x = 5 et x = 2 qui figurent bien en dehors de l'intervalle [2,3 ; 4,6]
donc tu obtiens 4 solutions à ton équation initiale : 2 ; 5 ; 6 ; 7
les racines 3 et 4 sont admises en plus car tu obtiens (-1) élevé à une puissance paire donc égale à 1
cordialement
Le souci est précisément la condition d'existence énoncée en début. Comme tu le fais remarquer très justement, les solutions doivent être en dehors de l'intervalle [2,3;4,6] afin de satisfaire à la définition de l'exponentielle. Pour cette raison, les racines 3 et 4 devraient être rejetées, alors qu'elles sont effectivement solutions de l'équation.
Pour trouver ces racines 3 et 4, il faut en effet poser que la base x2 -7x+11 vaut -1, ce qui ne viendrait jamais à l'idée d'un mathématicien qui connait l'exponentielle.
Ce que je me demande, c'est simplement comment formuler cette équation pour que cette piste soit également envisagée, et que ces deux solutions soient également admissibles.
J'espère avoir été un peu plus clair.
Robert
PS : fais attention aux messages de Jean Lismonde, il aime bien trouver des limites nulles aux cosinus et autres choses du genre.
Au bout du compte, ma question relève plus du pédagogique: en examinant plusieurs énoncés/corrigés d'équations exponentielles, j'ai rarement vu apparaître de telles discussions sur le caractère entier de l'exposant lorsque la base est négative. Le plus souvent, le réflexe est d'énoncer comme condition d'existence que la base doit être positive afin que l'exponentielle soit définie, et on s'arrête là, au risque de passer à côté de ces autres solutions. Cela a d'ailleurs été le premier réflexe de Jean Lismonde, et très sincèrement, le mien aussi quand j'ai griffonné la résolution de cette équation 8-)