Un exercice sur les matrices

Bogus · July 2020

Bonjour à tous.
Je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes.
On suppose que A^(n-1) n'est pas diagonalisable et que A^n est diagonalisable.
Montrer que A^n=0.

J'ai essayé d'utiliser la réduction de Dunford, mais je n'ai pas réussi à obtenir quoi que ce soit de concluant.
Qu'en pensez-vous ?

marco · July 2020

On peut se ramener à $A=\lambda I_n+N$, où $N$ est triangulaire supérieure avec des $0$ sur la diagonale. Ensuite, on écrit $A^n=\lambda^n I_n+n \lambda^{n-1}N+ C^2_n \lambda^{n-2}N^2+ \dots +N^n$.
$A^n$ est diagonalisable, donc $A^n$ est ... c'est-à-dire $A^n=\dots$. Puis on regarde les coefficients juste au dessus de la diagonale. Ça a l'air de marcher.

MrJ · July 2020

Il me semble qu’avec la décomposition de Dunford, on peut s’en sortir en suivant des calculs analogue à ceux de marco.

Je me demande s’il est possible de s’en sortir en utilisant uniquement des polynômes annulateurs.

side · July 2020

supp

Un exercice sur les matrices

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