Carré ?

soland · July 2020

Je n'ai aucune idée du degré de difficulté de cette question.

Parfois le polynôme
$$
81 + 108 x + 72 x^2 + 24 x^3 + 4 x^4 - 36 x y - 24 x^2 y - 8 x^3 y +
8 x^2 y^2 - 8 x y^3 + 4 y^4
$$
est un carré $\in\mathbb{Z}[x,y]$, par exemple si $x=-3$ ou si $x=y=0$ .
Comment se fait-ce ?

i.zitoussi · July 2020

J'ai la même question pour $x+3 \in\mathbb{Z}[x]$. Parfois ça donne un carré (exemple: $x=6$).

YvesM · July 2020

Bonjour,

On factorise $\displaystyle P(x,y) = (9+6 x+2 x^2+6 y+2 y^2)(9+6 x+2 x^2-6 y-4 x y+2 y^2).$

On obtient un carré quand les facteurs sont égaux (condition suffisante), et donc quand $\displaystyle 6y = -6y-4xy$ qui implique $\displaystyle (3+x)y=0.$

La factorisation n'est pas commode sans indication. On reconnaît $\displaystyle P(x,y) = 9^2+108 x+2 (6 x)^2+24 x^3+(2 x^2)^2-(6 x)(6 y)-24 x^2 y-8 x^3 y+ 8 x^2y^2-8xy^3+(2y^2)^2$...

jean lismonde · July 2020

bonsoir

à partir de la factorisation de P(x; y) proposée par Yves
on s'aperçoit que P s'annule pour $2(x^2+y^2) + 6x + 6y + 9 = 0$
il s'agit du point de coordonnées -3/2 et -3/2 situé sur la première bissectrice

et d'autre part P s'annule lorsque $2(x - y)² + 6(x-y) + 9 = 0$
en posant x - y = t l'équation devient 2t² + 6t + 9 = 0 qui n'admet pas de racine réelle en t
donc il s'agit en x et y d'une conique imaginaire

cordialement

soland · July 2020

Construction du polynôme : 107092

soland · August 2020

Soit $H(U;V,W) := (U+V+W)(U-V+W)(U+V-W)(U-V-W)$ .
Alors $H(U,V,0) = (U^2-V^2)^2$ .

Carré ?

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 20