Des questions $p$-adiques
Bonjour,
J'essaie de me mettre un peu au monde $p$-adique et j'ai quelques questions basiques, je pense qu'il y a quelques réflexes de base que je n'ai pas encore et je ne connais pas assez d'exemples/contre-exemples.
Ma première question concerne les pro-$p$-groupes : un pro-$p$-groupe est canoniquement un $\mathbb Z_p$-module, je me pose des questions par rapport au sens de "canoniquement" ici; spécifiquement je me donne deux pro-$p$-groupes $M,N$, avec leur structure usuelle de $\mathbb Z_p$-modules, et $M\to N$ un morphisme de $\mathbb Z_p$-modules.
Est-ce nécessairement un morphisme de pro-$p$-groupes, i.e. est-il continu ?
Cela revient évidemment à demander si tout morphisme de $\mathbb Z_p$-modules $M\to \mathbb Z/p^n$ est continu, ou encore si tout tel morphisme $\varprojlim_i M_i \to \mathbb Z/p^n$ se factorise par $M_i\to \mathbb Z/p^n$, les $M_i$ formant un système inverse de $p$-groupes finis.
(Il me semble que ce n'est pas vrai en remplaçant $\mathbb Z_p$ par $\mathbb Z$)
Ma deuxième question concerne la $p$-complétion : un pro-$p$-groupe est-il nécessairement $p$-complet ? (Au sens usuel, pas dérivé)
Si je ne me trompe pas, au moins l'une des deux questions a une réponse négative, mais je ne sais pas trop laquelle (ni d'ailleurs si l'autre a une réponse positive)
J'essaie de me mettre un peu au monde $p$-adique et j'ai quelques questions basiques, je pense qu'il y a quelques réflexes de base que je n'ai pas encore et je ne connais pas assez d'exemples/contre-exemples.
Ma première question concerne les pro-$p$-groupes : un pro-$p$-groupe est canoniquement un $\mathbb Z_p$-module, je me pose des questions par rapport au sens de "canoniquement" ici; spécifiquement je me donne deux pro-$p$-groupes $M,N$, avec leur structure usuelle de $\mathbb Z_p$-modules, et $M\to N$ un morphisme de $\mathbb Z_p$-modules.
Est-ce nécessairement un morphisme de pro-$p$-groupes, i.e. est-il continu ?
Cela revient évidemment à demander si tout morphisme de $\mathbb Z_p$-modules $M\to \mathbb Z/p^n$ est continu, ou encore si tout tel morphisme $\varprojlim_i M_i \to \mathbb Z/p^n$ se factorise par $M_i\to \mathbb Z/p^n$, les $M_i$ formant un système inverse de $p$-groupes finis.
(Il me semble que ce n'est pas vrai en remplaçant $\mathbb Z_p$ par $\mathbb Z$)
Ma deuxième question concerne la $p$-complétion : un pro-$p$-groupe est-il nécessairement $p$-complet ? (Au sens usuel, pas dérivé)
Si je ne me trompe pas, au moins l'une des deux questions a une réponse négative, mais je ne sais pas trop laquelle (ni d'ailleurs si l'autre a une réponse positive)
Réponses
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Est-ce que tu supposes implicitement tes pro-$p$-groupes abéliens ? Sinon je ne suis pas sûr de bien saisir la question: si $G$ est un pro-$p$-groupe, pour tout élément $g\in G$ le morphisme $n\in \mathbb{Z}\mapsto g^n$ s'étend de façon continu en un morphisme $\mathbb{Z}_p\to G$ et on obtient bien ainsi une action de $\mathbb{Z}_p$ sur $G$ mais je ne vois pas de structure de module si $G$ n'est pas abélien.
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Pea : oui pardon tu as tout à fait raison, je voulais dire pro-$p$-groupe abélien !
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Alors, je dirais que la réponse à la première question est non: soit $M=\mathbb{F}_p^{\mathbb{N}}$ le pro-$p$-groupe abélien limite projective des $\mathbb{F}_p^n$, $n$ entier naturel, et $N=\mathbb{F}_p$ alors il existe des morphismes $M\to N$ qui ne se factorise par aucun des quotients $\mathbb{F}_p^n$ (cela se voit par exemple en considérant une base de $M$ comme $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel).
Pour la deuxième question, il me semble que la réponse est oui puisqu'un groupe abélien limite projective de groupes abéliens $p$-complets doit être $p$-complet et qu'un $p$-groupe fini est $p$-complet. -
Pea : merci !!
Ok pour le premier, effectivement un morphismes de $\mathbb F_p$-modules en est en particulier un de $\mathbb Z_p$-modules !
Pour le second, il me manque un point : pourquoi une limite projective de groupes $p$-complets est-elle $p$-complète ? C'est peut-être évident mais pas clair pour moi à première vue
(C'est clair dans le monde dérivé :-D ) -
Alors peut-être que je dis une bêtise car je n'y ai pas réfléchi plus que ça. Soit $M=\varprojlim_{i\in I} M_i$ une limite projective de groupes abéliens $p$-complets. Alors $M$ est un sous-groupe du produit $\prod_{i\in I} M_i$ qui est fermé pour la topologie $p$-adique: si $(m_i)_{i\in I}\in \prod_{i\in I}M_i$ n'appartient pas à $M$ alors il existe un morphisme de transition $\phi: M_i\to M_j$ tel que $\phi(m_i)\neq m_j$ et comme $M_j$ est $p$-séparé on en déduit l'existence d'un entier $n$ tel que $\phi(m_i)+p^nM_j\neq m_j+p^nM_j$ donc que $(m_i)_{i\in I}+p^n \prod_{i\in I} M_i$ ne rencontre pas $M$. De plus, il est facile de voir qu'un produit de groupes abéliens $p$-complets est $p$-complet et de même pour un sous-groupe fermé d'un groupe abélien $p$-complet.
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Bien vu : c'est que j'y pensais uniquement en termes algébriques (la flèche $A\to \varprojlim A \otimes \mathbb Z/p^n$) et pas en termes de topologie $p$-adique.
Merci beaucoup !!
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