Des questions $p$-adiques
Bonjour,
J'essaie de me mettre un peu au monde $p$-adique et j'ai quelques questions basiques, je pense qu'il y a quelques réflexes de base que je n'ai pas encore et je ne connais pas assez d'exemples/contre-exemples.
Ma première question concerne les pro-$p$-groupes : un pro-$p$-groupe est canoniquement un $\mathbb Z_p$-module, je me pose des questions par rapport au sens de "canoniquement" ici; spécifiquement je me donne deux pro-$p$-groupes $M,N$, avec leur structure usuelle de $\mathbb Z_p$-modules, et $M\to N$ un morphisme de $\mathbb Z_p$-modules.
Est-ce nécessairement un morphisme de pro-$p$-groupes, i.e. est-il continu ?
Cela revient évidemment à demander si tout morphisme de $\mathbb Z_p$-modules $M\to \mathbb Z/p^n$ est continu, ou encore si tout tel morphisme $\varprojlim_i M_i \to \mathbb Z/p^n$ se factorise par $M_i\to \mathbb Z/p^n$, les $M_i$ formant un système inverse de $p$-groupes finis.
(Il me semble que ce n'est pas vrai en remplaçant $\mathbb Z_p$ par $\mathbb Z$)
Ma deuxième question concerne la $p$-complétion : un pro-$p$-groupe est-il nécessairement $p$-complet ? (Au sens usuel, pas dérivé)
Si je ne me trompe pas, au moins l'une des deux questions a une réponse négative, mais je ne sais pas trop laquelle (ni d'ailleurs si l'autre a une réponse positive)
J'essaie de me mettre un peu au monde $p$-adique et j'ai quelques questions basiques, je pense qu'il y a quelques réflexes de base que je n'ai pas encore et je ne connais pas assez d'exemples/contre-exemples.
Ma première question concerne les pro-$p$-groupes : un pro-$p$-groupe est canoniquement un $\mathbb Z_p$-module, je me pose des questions par rapport au sens de "canoniquement" ici; spécifiquement je me donne deux pro-$p$-groupes $M,N$, avec leur structure usuelle de $\mathbb Z_p$-modules, et $M\to N$ un morphisme de $\mathbb Z_p$-modules.
Est-ce nécessairement un morphisme de pro-$p$-groupes, i.e. est-il continu ?
Cela revient évidemment à demander si tout morphisme de $\mathbb Z_p$-modules $M\to \mathbb Z/p^n$ est continu, ou encore si tout tel morphisme $\varprojlim_i M_i \to \mathbb Z/p^n$ se factorise par $M_i\to \mathbb Z/p^n$, les $M_i$ formant un système inverse de $p$-groupes finis.
(Il me semble que ce n'est pas vrai en remplaçant $\mathbb Z_p$ par $\mathbb Z$)
Ma deuxième question concerne la $p$-complétion : un pro-$p$-groupe est-il nécessairement $p$-complet ? (Au sens usuel, pas dérivé)
Si je ne me trompe pas, au moins l'une des deux questions a une réponse négative, mais je ne sais pas trop laquelle (ni d'ailleurs si l'autre a une réponse positive)
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Réponses
Pour la deuxième question, il me semble que la réponse est oui puisqu'un groupe abélien limite projective de groupes abéliens $p$-complets doit être $p$-complet et qu'un $p$-groupe fini est $p$-complet.
Ok pour le premier, effectivement un morphismes de $\mathbb F_p$-modules en est en particulier un de $\mathbb Z_p$-modules !
Pour le second, il me manque un point : pourquoi une limite projective de groupes $p$-complets est-elle $p$-complète ? C'est peut-être évident mais pas clair pour moi à première vue
(C'est clair dans le monde dérivé :-D )
Merci beaucoup !!