Descente galoisienne

Bon, je crois qu'il me manque une partie du puzzle mais voici déjà un truc que j'ai obtenu en fouinant un peu: l'idée est de base-change à un truc où l'extension $R\to S$ a une forme triviale.

Soit donc $S$ un groupe avec $G$ un groupe fini agissant dessus, $R=S^G$. Je suppose que $S$ est fidèlement plat sur $R$.

Je remonte à ce que j'ai écrit au tout début; pour avoir mon équivalence de catégories il suffit de prouver que mon unité et ma co-unité sont des isomorphismes, i.e. $M\to (S\otimes_R M)^G$ et $S\otimes_R N^G\to N$ ($M$ un $R$-module, $N$ un $S$-module avec données de descente).

Première remarque : avec $N = S[G] = S\otimes_R R[G]$ muni de l'action diagonale (ou de l'action sur le facteur $G$ uniquement, les deux sont isomorphes), la deuxième condition nous dit que $S\otimes_R S\cong S[G]$. Attention, du côté $S\otimes_R S$, il s'agit bien de l'action sur le $S$ de gauche.

Je rajoute donc cette hypothèse, i.e. que la co-unité est un isomorphisme en $N=S[G]$.

Partant de ça, je rappelle que puisque $S$ est fidèlement plat, $A\to B$ est un isomorphisme si et seulement si $S\otimes_R A\to S\otimes_R B$ en est un.

Je rappelle de plus que puisque $S$ est plat, $S\otimes_R -$ préserve les limites finies.

Ainsi, $M\to (S\otimes_R M)^G$ est un isomorphisme si et seulement si $S\otimes_R M \to S\otimes_R (S\otimes_R M)^G$ en est un, mais ce dernier devient $S\otimes_R M\to (S\otimes_R S\otimes_R M)^G \cong (S[G]\otimes_R M)^G \cong S\otimes_R M$, qui est un isomorphisme
(ici l'action de $G$ est sur le deuxième $S$, mais naturellement, le switch est un isomorphisme )

(il faut analyser la flèche, mais ça se fait, c'est : $s\otimes m \mapsto s\otimes 1\otimes m \mapsto \sum_g s^g \otimes g\otimes m = \sum_g g\cdot (s\otimes m)\mapsto s\otimes m$)

De même, $S\otimes_R N^G \to N$ est un isomorphisme si et seulement si $S\otimes_R S \otimes_ R N^G\to S\otimes_R N$ en est un.

Mais je peux réécrire le début comme $(S\otimes_R S)\otimes_S (S\otimes_R N)^G$ (à nouveau j'ai passé le $G$ dedans grâce à la platitude de $S$, en particulier, notez que dans l'ordre, mes $S$ ont : l'action triviale, l'action de départ, et l'action triviale)

Du coup en fait je suis ramené à une extension "galoisienne" de la forme $S\to S\otimes_R S, s\mapsto s\otimes 1$, avec l'action sur le $S$ de droite, et j'ai supposé $S\otimes_R S \cong S[G]$, donc on a bien $(S\otimes_R S)^G = S \otimes_R 1$; donc finalement je me suis ramené à une extension "galoisienne" de la forme $S\to S[G]$.
Attention, un point très important sur lequel j'ai failli faire des bêtises: $S[G]$ n'est pas l'algèbre de groupe, c'est plus $\prod_g S$ muni de la structure produit. Je devrais la noter $F(G,S)$ ou quelque chose comme ça... Allez, je vais le faire, je vais même être plus audacieux et la noter $C(G,S)$.

A noter que $S\otimes_R N$ est un $S\otimes_R S$-module muni d'une donnée de descente (qui est l'action sur $N$, attention, sur le $S$ de $S\otimes_R N$, c'est trivial. Il faudrait des bonnes notations :-D )

Je le vérifie pour faire un sanity-check, même si en principe c'est trivial et formel : $g\cdot (s_0\otimes s_1) \cdot (s\otimes n) = g\cdot (s_0s\otimes s_1n) = (s_0s)\otimes (g\cdot s_1n) = (s_0s)\otimes (s_1^g g\cdot n) = (s_0\otimes s_1^g) g (s\otimes n)$, c'est bien ce qu'on voulait.

Bon, la pièce du puzzle qui me manque (enfin à laquelle je n'ai pas réfléchi avant d'écrire) c'est pourquoi on a descente lorsque mon extension est $S\to C(G,S)$, ça devrait être relativement simple
(j'y connais rien mais si je ne m'abuse, "topologiquement", ça correspond à un revêtement bebête de la forme $Y\times G\to Y$ - si on n'a pas de descente pour ça...)

Je le fais en live : je prends donc $L$ un $C(G,S)$-module muni d'une donnée de descente (moralement "$L= S\otimes_R N$", mais même plus besoin en principe), et je voudrais montrer que $C(G,S)\otimes_S L^G\to L$ est un iso. ça devrait être simple mais j'ai pas d'argument immédiat (à part peut-être un argument homotopique) sans calcul.

Bon, bah $C(G,S) = \prod_{g\in G}S$ donc j'ai tout intérêt à regarder ma décomposition favorite de $L$: $ L =\bigoplus_{g\in G}\delta_g L$

De plus, $g\delta_h l= \delta_{gh}(gl)$, de sorte que la composante $hL$ est envoyée par $g$ dans $ghL$. Donc $G$ permute les composantes.

Pour tout $g\in G$, $g$ est un isomorphisme $\delta_eL\to \delta_g L$, naturel en $L$.
Soit $l\in L$. $l = \sum_g \delta_g l$. Si $l$ est un point fixe, alors $\delta_g l = g\delta_e l$ pour tout $g$. Réciproquement, si $a\in e L$ alors $\sum_g ga$ est un point fixe. Donc $\delta_e : L\to eL$ établit un isomorphisme $L^G\to eL$. Il est alors simple de vérifier que $C(G,S)\otimes_S eL\to C(G,S)\otimes_S L^G\to L$ est un isomorphisme.

Conclusion : soit $G$ un groupe fini agissant sur $S$ et $R=S^G$.
Si $S$ est fidèlement plat sur $R$; et si $S\otimes_R S \cong S[G]$ (au sens décrit plus haut), alors on a de la descente.
Cela donne automatiquement le cas des corps (on voit d'où sort l'astuce de aRc !)

Je ne suis pas sûr par contre de voir d'où vient ce que disait Pea, à savoir que la fidèle platitude suffisait. J'ai beaucoup utilisé $S\otimes_R S \cong S[G]$.

En fait, la fidèle platitude ne peut pas suffire pour avoir ma descente galoisienne, car ça voudrait dire que je peux remplacer $G$ par n'importe quelle extension de $G$, or ça change la catégorie des données de descente (en particulier ça changerait $S\otimes_R S$, qui doit être de rang $|G|$ sur $S$, donc $G$ doit agir fidèlement)

Pea, si tu repasses par là, tu pourras peut-être préciser ce que tu voulais dire ?

Pea: Oui je me disais bien que ma condition sur $S\otimes_RS$ avait une interprétation géométrique.
Merci pour ta correction, je pensais bien que c'était quelque chose comme ça - la donnée de descente a un lien avec le (co?)nerf de Cech, c'est ça ?

Oui ok, là tu tronques le (co)nerf de Cech parce qu'on n'a pas besoin de plus.

Dans le monde homotopique il faudrait continuer (montrer que les identifications des isos sur les triples intersections coïncident sur les quadruples intersections etc.) et ça donne un truc du genre $S\otimes_R S, S\otimes_RS\otimes_R S, ..., S^{\otimes_R n}$ qui a une structure naturelle d'ensemble cosimplicial (donc en toute logique, le conerf de Cech plutôt que le nerf)

C'est des trucs que j'ai envie d'apprendre un jour (notamment parce que là ça permet de détecter les faisceaux, et qu'il y a un truc qui s'appelle "hyperfaisceaux" que je ne connais pas du tout)
mais bon, on s'éloigne là (quoique... je crois que j'ai à peu près ce qu'il me faut, sauf si quelqu'un·e a des choses à ajouter - notamment sur les points suivants :


a- quid des groupes infinis (profinis ?) ?
b- Y a-t-il des critères sur l'action de $G$ pour détecter les deux conditions que j'ai mentionnées ? (Fidèle platitude, et la condition shr $S\otimes_R S$)

Salut Claude,.

Non justement ce n'est pas sans.hypothèse supplémentaire !
Le but de l'opération était précisément de trouver des hypothèses sur $(R,S,G)$ qui faisait marcher le schmil-blick, mais des hypothèses portant plus sur la struccture de $S$ "vis-à-vis de $G$" disons, que sur la tructure de $S$ elle-même.
Par exemple je ne voulais pas supposer que $S$ est un corps. L'une des raisons est que fondamentalement je veux regarder plus loin : Ausoni-Rognes (puis Mathew et d'autres) ont développé (développent) une théorie de Galois dans le cadre des anneaux en spectres, et sans forcément savoir grand chose de ça, tu dois imaginer qu'on ne peut pas supposer qu'on a affaire à un corps dans ce cadre :-D

(D'ailleurs peut-être que l'algèbre spectrale, ça ta plairait - c'est très peu concret, mais du fait de la nature des objets on est un peu obligé de travailler constructivement, et de comprendre "le fond" de certains phénomènes d'algèbre commutative, exercice que je sais te plaire ;-) )

Par contre on peut faire des hypothèses telles que "$S$ est fidèle sur $R$", c'est pour ça que ce type d'hypothèse me va.

Mais je suis intéressé : c'est quoi une algèbre galoisienne ?

Merci pour la ref !
C'est marrant, j'ouvre ton livre, et la définition 7.2 (automorphismes séparants) j'étais tombé dessus en réfléchissant à comment généraliser l'approche "de Conrad" mais je m'étais dit que c'était trop restrictif :-D

En fait, plus exactement, je ne sais pas trop retraduire cette condition "plus abstraitement"
(Et comme je l'ai dit, ce n'est pas un but en soi d'abstraire, mais ici, j'en ai "besoin")