Démonstration polynôme corps fini

Julia Paule
Julia Paule
dans Algèbre
Bonjour
La démonstration de ce lemme

"Étant donné un corps $K$ et un entier $n>1$, alors $\forall s \in N^*, X^s-1 \mid X^n-1$ dans $K[X] \Leftrightarrow s \mid n$ dans $N^*$."

distingue 2 cas. 1er cas : car $K = 0$ ou (car $K = p>0$ et $p \nmid n$), 2ème cas : car $K = p >0$ et $p \mid n$.
Or la démonstration du 1er cas me parait convenir au 2ème cas :
- si $s \mid n$, $n=sd$, alors $X^n-1=(X^s-1)(X^{s(d-1)}+\cdots + X^s+1)$, donc $X^s-1 \mid X^n-1$
- réciproquement, si $X^s-1 \mid X^n-1$, on utilise la division euclidienne de $n$ par $s$ : $n=sq+r,\ 0 \leq r < s$, et $X^n-1= (X^{sq}-1)X^r + X^r-1$, alors comme $X^s-1 \mid X^{sq}-1$, on déduit $X^s-1 \mid X^r-1$, puis $r=0$ et $s \mid n$.

Pourquoi cette démonstration ne convient pas si $p \mid n$ ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Dr Geodingus
    Dr Geodingus
    Bonjour Julia Paul,

    Votre référence pour la démonstration est-elle celle du lemme 4.7 p 58 du "Extensions de corps" de Josette CALAIS aux éditions Ellipses?

    Si c'est le cas, je ne vois pas de subtilité justifiant la séparation des cas $p\mid n$ et $p\nmid n$.
    Peut être est-ce juste un choix pédagogique pour rappeler que dans le cas $p\mid n$ on a la relation $(x-1)^p=x^p-1$.

    Pour s'en convaincre, voir la démonstration du lemme 6.5 p 652 de "Algèbre: le grand combat" de Grégory BERHUY 2ème édition aux éditions C&M.

    Cordialement,

    Geodingus
  • gai requin
    gai requin
    Effectivement, cette preuve marche en toute caractéristique.

    Remarque : Soit $n\geq s$ et $q,r$ tels que $n=sq+r$ avec $0\leq r<s$.
    On a $X^n-1=X^r(X^s-1)(1+X^s+\cdots +X^{s(q-1)})+X^r-1$.
    Donc le reste de la division euclidienne de $X^n-1$ par $X^s-1$ est $X^r-1$.
    Cela donne le lemme.
    Mais on a mieux : $\text{pgcd}(X^n-1,X^s-1)=X^{\text{pgcd}(n,s)}-1$.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Bonjour,
    Merci beaucoup à vous. Dr Geodingus, c'est bien ça. Merci pour la référence du livre.
    gai requin, avec le pgcd, il me semble que je l'ai déjà vu passer.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Et en plus, il me semble qu'il y a une erreur dans la preuve du 2ème cas : $P \mid Q^m$ n'implique pas $P=Q'^n, Q' \mid Q$ ?
  • gai requin
    gai requin
    @Julia : Pour trouver le pgcd que j'ai donné dans mon message précédent, il suffit de mettre en parallèle l'algorithme d'Euclide appliqué à $n$ et $s$ dans $\mathbb Z$ et l'algorithme d'Euclide appliqué à $X^n-1$ et $X^s-1$ dans $K[X]$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Julia: non, tu as tout à fait raison. Si $P=(X-1)X^2$, et $Q= X(X-1)$, alors $P\mid Q^2$, mais on n'a jamais $P=Q'^n$ et $Q'\mid Q$.
  • Dr Geodingus
    Dr Geodingus
    Bonjour Julia Paule,

    En effet, de manière générale $P\mid Q^m$ n'implique pas $P=Q'^n$, $Q' \mid Q$.
    Comme le montre le contre-exemple suivant:
    $Q'(X)=(X-1)(X-2)^2$, $Q(X)=(X-1)(X-2)$, $m=4$ et $n=2$.
    Mais ce n'est pas ce qu'écrit Mme CALAIS dans son livre.

    Cordialement,

    Geodingus
  • troisqua
    troisqua
    Par contre, pour la question initiale, j'aurais plutôt rédigé en disant que si $X^{n}-1=Q\left(X^{s}-1\right)$ alors on obtient, par dérivation, $nX^{n-1}=Q'$$\left(X^{s}-1\right)+sX^{s-1}Q$ et le résultat en découle par évaluation en $1$.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Je pense que vous avez compris que $Q'$ ne désigne pas le polynôme dérivé de $Q$ dans mon message écrit un peu vite ce matin.

    Merci à tous. Voici ce qui est écrit exactement dans le livre, avec $K$ un corps de caractéristique $p>0, p\nmid k, \alpha \ne 0, s >0$) :

    si $X^s-1 \mid (X^{kp^{\alpha}}-1)=(X^k-1)^{p^{\alpha}}$ dans $K[X]$, alors $X^s-1 =(X^{k'}-1)^{p^{\beta}}$, avec $k' \mid k$ et $0 \leq \beta \leq \alpha$.

    Je ne vois pas comment on le déduit.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    troisqua, pas mal, c'est plus rapide : $n = Q(1)s$.

    Cette solution ne marche pas pour $p \mid n$
  • troisqua
    troisqua
    @Julia

    Edit: nos messages se sont croisés. Oui, pour ta remarque avec le cas où $p$ divise $n$.

    Et sinon, je ne résiste pas à fournir une rédaction de ce qu'annonçait plus haut gai requin sans passer par l'algorithme d'Euclide: si $A$ divise $X^{p}-1$ et $X^{q}-1$ alors dans $\frac{K\left[X\right]}{\left(A\right)}$ on a $\overline{X}^{p}=\overline{1}$ et $\overline{X}^{q}=\overline{1}$ donc $\overline{X}^{p\wedge q}=\overline{X}^{pu+qv}=\left(\overline{X}^{p}\right)^{u}\left(\overline{X}^{q}\right)^{v}=\overline{1}$ et donc $A$ divise $X^{p\wedge q}-1$. Réciproquement si $A$ divise $X^{p\wedge q}-1$ alors dans $\frac{K\left[X\right]}{\left(A\right)}$ on a $\overline{X}^{p\wedge q}=\overline{1}$ donc $\overline{X}^{p}=\left(\overline{X}^{p\wedge q}\right)^{\frac{p}{p\wedge q}}=\overline{1}$ donc $A$ divise $X^{p}-1$ et divise de même $X^{q}-1$. Les diviseurs communs de $X^{p}-1$ et $X^{q}-1$ sont donc ceux de $X^{p\wedge q}-1$ ce qui montre que $\left(X^{p}-1\right)\wedge\left(X^{q}-1\right)=X^{p\wedge q}-1$. Le résultat que tu donnes en est un corollaire.
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