Démontrer que racine de 2 n'est pas rationnel
Réponses
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Dom:
On cherche à démontrer que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.
Donc, si on nie ceci, la preuve commence par: supposons que $\sqrt{2}$ est rationnel.
C'est bien ce qui est fait non?
C'est toi, pour le coup, qui n'est pas cohérent avec ce dont tu essaies de nous convaincre.
Non rationnel, irrationnel c'est la même chose par définition. Pas d'utilisation d'axiome du tiers-exclus pour pouvoir le dire
(c'est bien de cela dont il s'agit non?)
Et, tu as mal lu le texte cité par Chaurien:
Il y avait deux parties dans la définition informelle:
".... soit à montrer la fausseté d'une proposition en déduisant logiquement d'elle des conséquences absurdes. »
Voilà ce que je comprends.
Des gens, à une époque qui m'est inconnue, décident de restreindre le sens de ce qui est une preuve par l'absurde, et ce qui ne l'est pas. Cela veut dire que des preuves qui étaient des preuves par l'absurde ne le sont plus après cette époque.
Un peu comme si, tout d'un coup, quelqu'un décidait que tous les gâteaux qui ne contiennent pas du chocolat ne sont plus des gâteaux et essayait d'imposer cette nouvelle typologie.
PS:
Notez l'avertissement du texte cité par Thierry Poma plus haut:
On y lit "il ne s'agit pas en réalité d'un raisonnement par l'absurde , tout au moins au sens où nous l'avons défini".
Si vous décidez donc maintenant, pour des raisons qui vous appartiennent, que les gâteaux doivent contenir du chocolat, désormais ceux qui croient qu'ils mangent un gâteau en mangeant un gâteau de riz, sont dans l'erreur. B-)- -
FdP a écrit:On cherche à démontrer que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.
Donc, si on nie ceci, la preuve commence par: supposons que $\sqrt{2}$ est rationnel.
C'est bien ce qui est fait non?
Non. Ce qui est formellement fait n'est pas "nier ceci".
Si tu veux montrer que $\sqrt{2}$ n'est PAS rationnel, tu veux montrer la négation de "$\sqrt{2}$ est rationnel".
De ce que j'en ai compris, tu peux plus ou moins par définition dire que "Non P" est en fait $P \Rightarrow \bot$, où $\bot$ signifie faux. Dans ce cadre, si tu veux montrer $\mathrm{Non}\left(P\right)$, tu prends $P$, tu en déduis $\bot$, tu as gagné.
Ce que (je crois) nos logiciens essayent d'expliquer, c'est que le fait de dire que "supposer $\sqrt{2}$ rationnel" ne constitue PAS une négation de ce qu'on cherche à montrer, car ce qu'on cherche à montrer est DÉJÀ une négation et donc ce qu'on cherche à montrer est de la forme $P \Rightarrow \bot$, dans ce cas c'est tout ce qu'il y a de plus normal que de prendre $P$ est d'essayer d'en déduire $\bot$.
Si tu veux nier "$\sqrt{2}$ n'est PAS rationnel", la bonne phrase n'est donc pas (dans le monde intuitioniste)"$\sqrt{2}$ est rationnel", mais "$\sqrt{2}$ n'est PAS PAS rationnel". Et là, pour simplifier ceci en "$\sqrt{2}$ est rationnel", il faut le raisonnement par l'absurde. Mais en gros, si tu fais ça, tu vas bien finir par "devoir" prouver "($\sqrt{2}$ est rationnel) $\Rightarrow \bot$", mais sauf que tu auras rajouté de manière inutile un axiome sur le tapis. Ce serait comme commencer un calcul en commençant par ajouter $+ 1 - 1$ et en réduisant ce même $+1 - 1$ en $0$ à la ligne d'après: formellement possible, mais inutile. Sauf que là, ajouter $+1 - 1$ et réduire $+1-1$ en $0$ ne nécessite pas d'axiome (ou alors tu travailles dans $\mathbb{N}$ uniquement, et pour écrire le symbole "$-1$", tu dois construire $\mathbb{Z}$, donc élargir le cadre, etc...), alors que là tu dois en rajouter un sur le tapis.
PS: J'ai plus ou moins compris ces choses en faisant mumuse avec un logiciel assistant de preuve, où "Non P" est défini comme $P \Rightarrow \bot$, c'est ce qui m'a sensibilisé à cette subtilité.
J'encourage tout le monde à aller "jouer" au jeu des nombres entiers: https://wwwf.imperial.ac.uk/~buzzard/xena/natural_number_game/ -
FDP es-tu d'accord avec ceci: le raisonnement par l'absurde est un des moyens parmi d'autres pour démontrer la contraposée ?
On veut prouver $A\Longrightarrow B$ par la contraposée: on suppose $nonB$ et on cherche à démontrer $non A $. Une façon pour démontrer $non A$ est de supposer $A$ et d'aboutir à une contradiction donc un raisonnement par l'absurde.Le 😄 Farceur -
Chat-maths:
La négation de la proposition "$\sqrt{2}$ n'est pas rationnel", n'est pas "$\sqrt{2}$ est rationnel" ? :-D
On m'aurait menti depuis plus de quarante ans?
J'ignore ce que veut dire $P \Rightarrow \bot$*, je ne suis pas un initié, un conjuré. :-D
($P$ va dans le mur? X:-( Sans offense à P) -
Gebrane:
Ben non, c'est le contraire. Un raisonnement par contraposée est une forme de raisonnement par l'absurde. -
FdP a écrit:La négation de la proposition "$\sqrt 2$ n'est pas rationnel", n'est pas "$\sqrt 2$ est rationnel" ?
Je te le répète @FdP:
si tu note $A$ "$\sqrt 2$ est rationnel" alors $\neg A$ est "$\sqrt 2$ est irrationnel" et la négation de cette dernière proposition est $\neg \neg A$ qui est différente de $A$ formellement.
Donc la réponse à ta question est NON. On t'a menti depuis 40 ans :-D. -
@FdP
La négation de "$\sqrt{2}$ est irrationel" est, EN PRESENCE DE L'AXIOME DU RPA, équivalente à (mais pas égale par définition à) "$\sqrt{2}$ est rationnel".
On ne t'a pas menti par ce que tu as toujours mathématiquement vécu dans un monde avec RPA. Simplement, vu que là, on est en train de regarder ce qu'il se passe lorsque RPA n'est plus là, c'est une "évidence" qu'il faut remettre en question.
$P \Rightarrow \bot$ est la proposition "P implique le faux" (pas si loin de $P$ va dans le mur :-D). Pour prouver un tel truc: tu suppose $P$, tu montres un truc faux.
Encore une fois: dans ce monde, on peut (*) prendre pour définition de la proposition "Non $P$" la proposition "$P$ implique le faux".
La proposition "$\sqrt{2}$ est irrationel", qui est un raccourci de langage pour désigner la négation de la proposition "$\sqrt{2}$ est rationnel", est donc, par définition (*), égale à la proposition "($\sqrt{2}$ rationnel) implique le faux".
Pour montrer une proposition de type "$P$ implique $Q$". Supposer $P$ est un bon moyen de commencer.
Pour montrer "($\sqrt{2}$ rationnel) implique le faux", supposer $\sqrt{2}$ rationnel est un bon moyen de commencer.
Tout ceci n'utilise pas l'axiome logique dit du "raisonnement par l'absurde".
(*): Je m'excuse auprès des logiciens aguerris si ce n'est pas exactement la définition, mon expérience de ces choses est via Lean, qui le prend comme définition, mais est-ce qu'on s'accorde au moins pour dire que c'est équivalent? -
Salut,
Je raconte un petit truc sur cette histoire de double négation. Je n'y connais absolument rien du tout en logique.
Le truc part de certains commentaires de Claude du genre : " pas de négation général en algèbre commutative ". Qu'est ce que ça veux dire ? Et bien je ne sais pas et je donne un exemple, disons que dans un énoncé du style : soit $R$ un anneau et soit $r \in R$, supposons que $r \ne 0$ alors blablabla.
Et bien dans ce cas, Claude remplace systématiquement la condition $r\ne 0$ par $r$ inversible. Pourquoi faire ça ? la condition $r \ne 0$ n'est pas stable par image de morphisme i.e si $\phi : R \to R'$ est un morphisme d'anneau et bien ce n'est pas parce que $r \ne 0$ que $\phi(r) \ne 0$ ! Et si l'on veux une condition solide (stable par morphisme) l'hypothèse est " supposons que pour tout morphisme $\phi : R \to R'$, $\phi(r) = 0$ implique $0 = 1$ dans $R'$ (i.e $R' = 0$) " ($\star$).
Ceci est exactement la même chose que demander a $r$ d'être inversible. En effet, soit $r$ vérifiant $\star$ et bien on considère la réduction $\phi : R \to R / (r)$ et bien entendu $\phi(r)$ est nul et donc l'anneau $R / (r)$ est l'anneau nul et donc $r$ est inversible.
Petite remarque : dans le papier de GBZM ici page 14 a la fin, il y a la définition de $\neg$ et on y voit bien la condition " pour tout $V \subset U$ " et pas uniquement la condition sur $U$ simplement !!! Donc en un certain sens la négation de " être nul " c'est être non nul par image pour tout morphisme d'anneau (sauf si l'anneau est nul) !
Maintenant, on se demande ce qu'il se passe si je nie " être inversible " donc " non non être nul ", est-ce que l'on retrouve être nul ou pas ? Et bien NON, absolument pas !
Soit $R$ un anneau, $r \in R$, vérifiant pour tout anneau $R'$ et tout morphisme $\phi : R \to R'$, si $\phi(r)$ est inversible alors $0 = 1$. Alors $r$ est nilpotent.
Démonstration : On localise suivant la partie multiplicative engendrée par $r$, $\phi : R \to R[r^{-1}]$ le morphisme de localisation, puisque $\phi(r)$ est inversible, c'est que $0 = 1$ dans $R[r^{-1}]$. En particulier, $\frac{r}{1} = 0$ et il existe $n$ tel que $r^n \times r = 0$ dans $R$ i.e $r$ est nilpotent.
Bref, être non non nul ce n'est pas être nul, c'est être nilpotent.
Ce que je voulais dire c'est que cette histoire de double négation, ce n'est peut être pas strictement réservé aux logiciens et qu'il y a peut être des instances palpable de ces histoires. Ou peut être que je délire :-D (je suis sous médicament, je me suis ouvert la main en glissant sur un sentier de randonnée :-o)
Désolé : Claude et GBZM, je vous ai fait rentré dans mon histoire :-D -
Brillant !
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Fin de partie, j’ai eu l’impression que tu jouais à un jeu, je tente une dernière fois en me forçant à te croire sincère.
Dans tout ce message je note $r=\sqrt{2}$.
Que tu dises que « la négation de $r$ est irrationnel » c’est pareil que « $r$ est rationnel » ne me gêne pas. C’est un truc que tu admets, ok. Tout le monde te dit que ce n’est pas si simple mais passons. Dans ce message, on se fiche de ce détail.
Tiens, amusant, on va utiliser le français courant si cher aux contradicteurs.
En français, une négation, ça se repère part « ni, ne, pas » et d’autres petits mots comme ça.
Bon sang de bonsoir, pourquoi s’interdire de les utiliser ? Vous qui prônez le « quidam », le « langage courant » ou encore « le bon sens »...
Pourquoi louper cette étape en français de la négation ? Est-ce de la flemme ? Où est votre pédagogie ? Vous loupez l’étape de négation, ou plutôt vous l’utilisez dans votre tête mais vous ne l’écrivez pas.
Moi je ne parle que de cela.
Je ne parle même pas de l’admis « non(non(machin)) » ça revient à « machin ».
Je m’adresse maintenant à ceux qui sont dans « mon camp » (je n’y étais pas avant, mon esprit loupait quelque chose, cette négation que je n’écrivais pas) mais tout le monde sait que je ne suis pas du tout spécialiste, c’est ma différence, en gros.
Toutes les démos critiquables par mon camp de « $r$ est irrationnel » commencent par :
Supposons par l’absurde que $r$ est rationnel.
Et c’est là le problème : je ne vois pas de négation.
Par contre je suis convaincu que tous ces papiers ont été rédigés par une personne qui s’est dit dans sa tête « Alors, voyons, il faut nier $r$ est irrationnel, bah autant dire “supposons $r$ rationnel” ». Et là c’est ce qu’ils écrivent en premier.
C’est en ce sens pour moi, à cet endroit qu’ils sont fautifs. Ils ont caché d’une part la négation, et d’autre part, le fait (dans leurs axiomes personnels) que ça revient à supposer « $r$ rationnel ».
Deux discussions arrivent alors, disons par les pros :
1) « mais était-ce obligatoire de raisonner par l’absurde finalement ? »
2) « quand ça commence par ”supposons $r$ rationnel”, ça ne peut pas être une démonstration par l’absurde ! ».
Une contradiction à la fin d’une démo n’assure pas qu’on ait affaire à une démonstration par l’absurde.
Il est nécessaire de commencer la démonstration par une négation.
Et c’est là que je ne comprends pas non plus Chaurien, si scrupuleux.
Il cite très bien « il faut supposer le contraire et arriver à une contradiction » mais ne commence pas tout de suite par écrire, par exemple :
« Supposons que $r$ n’est pas irrationnel, ce qui revient à dire que $r$ est rationnel ».
J’espère que vous apporterez des réponses à ce message.
Tant les uns que les autres, pros, pas pros, d’accord avec un camp ou d’accord avec l’autre.
Mon but est d’éclairer et non pas de faire une propagande du bon petit mathématicien.
L’extrait de Bourbaki, est d’ailleurs fautif pour moi. Je ne vois pas « noir sur blanc » ce qui est nié. -
Une pépite, pas de factorisation :
HYPOTHESES : $q \in \mathbb{Q}$ et $q^2 \in \mathbb{Z}$
CONCLUSION : $q \in \mathbb{Z}$
Notations :
$E$ := Partie entière de $q$
$D$ := Le dénominateur de l'écriture réduite de $q$ ,
i.e. le plus petit entier $>0$ tel que $qD$ soit entier.
Preuve :
$0 \leq q-E < 1 \quad |$ fois $D$
$0 \leq qD - ED < D$
Le terme central est un entier $D'<D$ car $(qD)$ , $E$ et $D$ sont entiers.
On a
$qD' = q^2D-qDE$
C'est un entier car $q^2, D, qD, E $ sont entiers.
On constate que $0\leq D'<D$ et que $qD'$ est entier.
Donc $D'=D(q-E)=0$ et $q=E$
Et hop ! Preuve prise dans un article ancien de AMM. -
@Poirot je ne suis pas d'accord :Poirot a écrit:on a quand même "inversible implique non nul"
Dans l'anneau trivial, $0$ est nul et inversible.Poirot a écrit:Et il ne me semble pas que flipflop sous-entende qu'il y ait équivalence
Quand il écrit "Maintenant, on se demande ce qu'il se passe si je nie " être inversible " donc " non non être nul " il suppose que "inversible" est équivalent à "non être nul". En tout cas c'est ce qu'il me semble.
Mais flipflop peut confirmer ou infirmer. -
@Poirot et Raoul :
En fait, je voulais expliquer un peu d'où provient le remplacement (je suis d'accord Raoul c'est remplacement) systématique de $r \ne 0$ par $r$ inversible et un petit truc de la double négation.
Je formalise un peu plus. Soit $\text{Ring}$ la catégorie des anneaux. J'utilise foncteur comme foncteur covariant de $\text{Ring}$ vers les ensembles (on dit "pre"-faisceau d'ensemble de la catégorie $\text{Ring}^{op}$).
Le premier objet important c'est $\mathbb{A}^1$ qui est le foncteur d'oublie $R \mapsto R$ on oublie la structure d'anneau et on garde l'ensemble sous-jacent. Ensuite, on note $\textbf{0}$ le sous-foncteur de $\mathbb{A}^1$ donné e par $R \mapsto \{ 0_R \}$. Et le foncteur $\neg \textbf{0}$ que les gens préfèrent noter : $\mathbb{A}^1 \setminus \{ 0 \}$ (donc la négation d'être nul au sens fonctoriel) est donnée selon le pdf de GBZM (voir également par 32). Par
$$R \mapsto \{ r \in R \mid \text{ pour tout $\phi : R \to R'$, on a : $\phi(r) =0$ implique $ 0=1$ dans $R'$} \}$$
Donc $\neg \textbf{0} (R) = \text{Inversible de $R$ }$.
Ensuite on refait le jeu de la négation sur $\text{Inversible de ... }$ et on trouve le foncteur des nilpotents.
Donc grosso modo $\neg \neg \textbf{0} \ne \textbf{0}$.
Bien entendu, on change le sens de $\neg$ pour rendre la construction fonctorielle. -
Dom a écrit:Toutes les démos critiquables par mon camp de « r est irrationnel » commencent par :
Supposons par l’absurde que r est rationnel.
Et c’est là le problème : je ne vois pas de négation.
J'ai l'impression d'être entré dans la cinquième dimension (hyper-orwellienne) :-S
Le mot "absurde" est en trop à ce moment de la démonstration.
La démonstration commence par , supposons que $\sqrt{2}$ est rationnel (c'est à dire le contraire, la négation de: n'est pas rationnel) -
FdP: As-tu lu mon message? Précisément la partie qui explique que "Supposer $P$" en vue de prouver "non(P)" n'EST PAS du au fait (qui, on le rappelle, n'est PAS VRAI dans le cadre intuitionniste) que la négation de non(P) est $P$, et qu'associer cette supposition à une forme d'absurde est possible mais constitue en fait une utilisation inutile de l'axiome en question?
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@flipflop je n'ai que des rudiments de la théorie des catégories mais je perçois que ce que tu écris est très schön. Si j'ai bien compris tu (ou le document de GBZM) donnes une autre interprétation (sémantique) des formules de la logique du premier ordre sans la règle de l'absurde. Donc dans cette logique on n'a pas $\neg\neg A \Rightarrow A$.
Et il y a un théorème de complétude à la clé aussi ? -
Chat-Maths:
Que les logiciens appellent ce type de démonstration par un nom savant à la c.n ou par, mon c.l sur la commode, ils font ce qu'ils veulent, mais quelle prétention d'essayer de changer le sens du mot absurdité pour montrer aux gens combien il sont idiots de ne pas faire une distinction là où ils font une distinction dont tout le reste du monde se fiche totalement.
Un logicien est un anti-Monsieur Jourdain, là où de bienheureux mathématiciens pensaient faire de la démonstration par l'absurde le logicien arrive et dit tranquillement que vous vous trompez, vous n'êtes pas en train de faire de la démonstration par l'absurde (pourtant le bienheureux mathématicien lui croit fermement exhiber une absurdité dans le cours de sa démonstration, justifiant qu'il est bien en train de réaliser une preuve par l'absurde) -
@FdP c'est dommage que tu continues à prendre tout ça du mauvais côté. Tu te prives d'une compréhension plus profonde du raisonnement humain.
Cette situation me fait penser au problème posé par le cinquième postulat d'Euclide. Il était tellement évident qu'on s'acharnait à vouloir le démontrer à partir des autres axiomes (je fais l'analogie entre le 5ème postulat et la règle $\neg\neg A\Rightarrow A$). Puis à la fin on s'est rendu compte qu'il ne découlait pas des autres axiomes car il existait des géométries qui vérifiaient tous les axiomes sauf celui-ci. Mais le monde de la géométrie a beaucoup grandi grâce à ça.
Ici c'est pareil, dans l'interprétation des formules logique que tu donnes tu as $\neg\neg A\Rightarrow A$ mais c'est comme si tu te bornais à ne considérer que la géométrie du plan. Il y a d'autres interprétations des formules logiques pour lesquelles la règle $\neg\neg A\Rightarrow A$ n'est pas vérifiée.
Du coup ça peut être intéressant lorsqu'on démontre une proposition en logique classique de vérifier si on a utilisé la règle de l'absurde ou pas, car il existe des propositions qui ne peuvent pas être démontrées sans cette règle. -
Je sens que ce débat ne va nul part. Mais passons.
Je rebondis juste lorsque tu dis "là où ils font une distinction dont tout le reste du monde se fiche totalement.".
Comme Christophe et Foys l'ont expliqué, la distinction en question permet de voir dans quel système axiomatique on se place. Le système "avec axiome du RPA" est strictement plus gros que le système "sans RPA", et signaler qu'une preuve n'utilise pas le RPA des logiciens signale donc que la preuve est valable dans un cadre général. Entretenir l'utilisation du mot "absurde" pour désigner deux choses, l'une qui utilise vraiment RPA, et l'autre qui ne l'utilise pas, c'est entretenir une confusion sur la généralité dans laquelle une preuve peut marcher.
C'est comme toujours supposer ses espaces vectoriels de dimension finie même quand il n'y en a pas besoin: pleins de gens font ça "pour simplifier", et du coup dès qu'un espace de dimension infinie pointe son nez, tout le monde est penaud et ne sais plus ce qui est vrai ni ce qui est faux.
Sans rentrer dans le débat du "détournement du mot". C'est comme signaler à une personne qui fait une preuve dans les réels que $(a + b) + c = c + (b+a)$ que sa preuve marche en fait dans tout groupe abélien. J'ai déjà donné une comparaison: utiliser l'axiome du RPA ici serait comme commencer une preuve de $(a + b) + c = c + (b+a)$ dans les entiers par \begin{align*}
(a + b) + c &= (a+ b) + c + (\zeta(2) - \zeta(2)) \\
&= (a + b) + c\\
&= \cdots
\end{align*}
C'est possible, mais inutile, et quiconque voit ça s'arrache les yeux. C'est sûrement pour cela que les logiciens aiment bien signaler que quoi qu'on en croit, il n'y a en fait pas d'utilisation de l'axiome qu'ils appellent RPA dans une preuve donnée.
Quand à l'utilité de la distinction: je te donne un exemple. Mettons que tu es dans la situation où tu as $f: E \to F$ une application linéaire entre espaces vectoriels. Et que dans cette situation, tu arrives triomphalement à prouver, en utilisant le "vrai" axiome RPA que $f$ est de rang $3$.
Et maintenant moi j'arrive, et je te dis que c'est cool, et que moi j'aurais besoin, pour quelques tests, que tu me donnes une base à trois éléments de l'image de $f$, et tant qu'à faire un antécédent dans $E$ de chaque élément de cet base. Tu dois bien les avoir, puisque tu as prouvé que $f$ est de rang $3$, non ?
Ben là tu es tout penaud car, a priori, ton utilisation de $RPA$ me dit que je peux aller me gratter pour obtenir les objets que je cherche. En revanche si tu avais procédé de manière "constructiviste", tu pourrais sans problème me donner ce que je cherche, car tu n'aurais pas eu d'autre moyen de prouver que $f$ est de rang $3$ que de trouver une base explicite de l'image et fournir toutes les données qui certifient que c'en est bien une base.
Claude expliquera cela sans doute mieux que moi.
Ce n'est donc pas une "lubie de logicien": si tu veux des exemples, il faut essayer de produire des preuves sans RPA.
Je pense donc que l'entreprise des logicien qui consiste à sensibiliser les gens sur le "vrai" RPA, du "faux" RPA est saine. Le problème de savoir s'il doivent "s'approprier" le terme "d'absurde" est un autre problème.
PS: Si tu tiques toujours sur l'utilisation du mot "RPA" que je fais dans ce texte qui entre parfois en contradiction avec ce que tu appelles "raisonnement par l'absurde", je peux remplacer "RPA" par "mon cul sur la commode" si ça peut t'aider à comprendre ;-) -
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supp
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Étant donné que tu ne veux pas suivre la suggestion que j'ai faite ici, il ne faut pas te plaindre.FdP a écrit:J'ai posé quelques questions sérieuses (tout du moins pour moi) sur le sujet (pas sur la prétention des logiciens) mais je n'ai pas eu de réponse.
Ben si, dans le même message, j'ai écrit :side a écrit:Je note que personne ne débat sur le détournement du terme intuitionniste...
L'utilisation de « dite » et de « hum » dans cette phrase n'est pas fortuite. Peut-être aurait-il fallu l'appeler « logique MCSLC(*) » afin d'éviter tout malentendu ?X:-(brian a écrit:Je crois que le langage naturel n'est pas bien adapté pour réfléchir à ça, car il me paraît très intuitif que non(non $Q$) soit équivalent à $Q$... ce qui est pourtant refusé en logique dite « intuitionniste » (hum).
(*) En référence à l'idée de FdP exprimée ici. -
Des preuves par l'absurde non-TE? B-)Side a écrit:Bref il faudrait ré écrire tout le fil en disant qu'on possède une preuve de $\sqrt{2}$ irrationnel qui n'utilise pas TE, ie estampillée preuve intuitionniste.
Pourquoi s'accrocher à un mot qui a un sens général assez large quand on prétend préciser un point?
Si on ne tord pas le langage pour lui faire dire ce qu'on veut qu'il dise on ne peut pas être pris au sérieux par le tout venant? Quel est le rapport entre tiers-exclus et le mot absurdité? 8-) -
Très étrange ! L'on a\[\R=(\R\setminus\Q)\cup\Q\text{, avec }(\R\setminus\Q)\cap\Q=\emptyset\]ce qui revient à dire que la famille d'ensembles habités $(\R\setminus\Q,\,\Q)$ forme une partition de $\R$. La mathématique intuitionniste valide-t-elle ce qui précède ? Partant,\[\sqrt{2}\in\R\Leftrightarrow\sqrt{2}\in\left(\R\setminus\Q\right)\text{ ou [bien]}\sqrt{2}\in\Q\]Supposons que $\sqrt{2}\not\in\R\setminus\Q$, ce qui, en vertu de ce qui précède, revient à supposer que $\sqrt{2}\in\Q$. (...)Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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supp
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@raoul.S : oui il y a un théorème de complétude, j'avais posé la question il y a quelques temps http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1859928,1866418
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Thierry Poma, je suis complètement béotien sur le sujet. Mais si j'ai bien compris, la question est de définir $\R \setminus \Q$. Par définition, être dans $\R\setminus \Q$ c'est ne pas être dans $\Q$.
Par comparaison, on a une partition de $\Z$ entre les entiers pairs, notons $P$ cet ensemble et les entiers impairs, notons $I$ cet ensemble.
On a bien $$ n\in \Z \Longleftrightarrow (n\in P \quad {{\rm ou\:\:bien}} \quad n\in I)$$ donc si $n \notin P$, alors $n\in I$.
Mais la différence - si j'ai bien compris - c'est qu'on sait définir les nombres pairs et impair de manière "constructive" (je ne sais pas si j'emploie le mot à bon escient ici), les pairs ce sont de la forme $2n$ et les impairs ceux de la forme $2n+1$.
Alors que dans le cas des rationnels et des irrationnels, on sait définir les premiers de manière "constructive", ce sont ceux qui peuvent s'écrire $\frac{p}{q}$ alors que pour les seconds, on peut juste dire que ce sont ceux qui ne peuvent pas s'écrire $\frac{p}{q}$ donc pour définir un nombre irrationnel, on est obligé de nier la propriété "être rationnel". -
Fin de partie,
Tu vois bien que tu y viens mais timidement.
Tu dis « supposons que $r$ est rationnel (c’est-à-dire le contraire d’être irrationnel). »
Regarde le message de Thierry,
Sa dernière phrase est moins timide.
Elle démarre proprement un raisonnement par l’absurde (une négation, puis un raisonnement « c’est-à-dire » $r$ rationnel en vertu de ....).
Sois un peu honnête.
Au départ il n’y avait même pas le « c’est-à-dire ».
Un étudiant en L1 pourrait ne pas comprendre pourquoi on démarre comme « supposons $r$ rationnel ». On n’a pas dit ce que l’on niait.
Édit : coquille. -
@Thierry POMA En généralisant ton énoncé à des ensembles quelconques il faudrait démontrer à partir de l'hypothèse $(A=B\cup C) \wedge (B\cap C=\emptyset)$ que : $$(x\in A) \wedge (x\not\in
\Rightarrow x\in C$$
Mais attention il faut le démontrer en utilisant les règles formelles suivantes https://fr.wikipedia.org/wiki/Déduction_naturelle.
C'est un enfer... j'ai trouvé une preuve mais elle utilise l'absurde...
La question est : est-ce qu'il existe une preuve utilisant les règles du lien Wikipedia mais pas celle de l'absurde ?
Edit : j'ai rajouté des parenthèses pour la lisibilité. -
@raoul.S : c'est exactement le tiers exclu, qui est notoirement équivalent au raisonnement par l'absurde en partant de la logique intuitionniste.
Si $P$ est une formule et $E$ un ensemble non vide, on considère $B=\{x \in E \mid P\}$ et $C = \{x \in E \mid \neg P\}$. Alors on peut faire le raisonnement suivant : on prend $x \in E$ qui est supposé non vide (ou habité peut-être pour rester intuitionniste ?). Si on suppose que $P$ n'est pas vraie, alors $x \not \in B$ et en appliquant ton truc, on en déduit que $x \in C$, de sorte que $C$ est habité et $\neg P$ est vraie. -
Dom a écrit:Un étudiant en L1 pourrait ne pas comprendre pourquoi on démarre comme « supposons r rationnel ». On n’a pas dit ce que l’on niait.
Tu vas penser que je suis de mauvaise foi, mais je ne te comprends pas vraiment, ou alors le mot négation a changé comme le mot absurdité et personne ne m'en a averti. 8-)
La négation de: "$\sqrt{2}$ n'est pas rationnel" est $\sqrt{2}$ est rationnel"
La négation de "$\sqrt{2}$ est rationnel" est "$\sqrt{2}$ n'est pas rationnel".
Implicitement quand on écrit, supposons $r$ rationnel dans l'optique de montrer que $r$ n'est pas rationnel il y a bien une négation, c'est la négation de la proposition qu'on souhaite montrer.
Ton objection était pour signifier que c'est implicite?
Il va falloir bientôt un permis de logique pour faire des preuves simples et les études de mathématiques seront réservées aux gens qui préalablement ont obtenu un doctorat en logique. X:-( -
FDP a écrit:La négation de: "$\sqrt{2}$ n'est pas rationnel" est $\sqrt{2}$ est rationnel"
Bah non, c'est tout le problème. La négation de "$\sqrt 2$ n'est pas rationnel" est "il n'est pas vrai que $\sqrt 2$ n'est pas rationnel". Tu utilises trop tes réflexes de l'utilisation de la négation en langue française (et en logique classique bien sûr). -
Bonjour,
Bon, on peut donc dire que la négation n'est pas une involution.
Dire que c'en est une est un axiome.
Cordialement,
Rescassol -
@Poirot
C'est pour ça que je lui ai conseillé d'écrire son raisonnement de manière formelle (et rappelé), mais il ne veut pas. Dans ces conditions, il est inutile de continuer. -
supp
-
J’étais certain que tu parlerais (toi ou quelqu’un d’autre) de « permis » ou je ne sais quoi.
Je n’oblige rien à personne. C’est ridicule de m’accuser de cela. Ça cherche à provoquer comme un collégien qui n’a pas fait son travail et qui veut changer de sujet.
Pour te répondre clairement : oui, c’est cet implicite qui manque cruellement pour que tout le monde interprète le texte de la preuve comme un RPA.
Poirot te dit une nouvelle fois que les négations de négations, ce n’est pas si simple que cela.
Moi, oui, je dis que cet implicite crée des confusions :
1) dans la tête de celui qui utilise cet implicite, il a bien fait un RPA, mais il rate le début et cache un raisonnement.
2) en ne regardant que ce qui est écrit, il se trouve que d’une part le lecteur d’une telle preuve ne voit pas la négation (les quidams ne sauront pas explicitement ce qui est nié) et d’autre part les pros interprètent* simplement une preuve directe.
***Je dis « interprètent » : la preuve est formellement une preuve directe même si l’auteur a bien fait un RPA dans sa tête selon moi.
Finalement c’est moi qui interprète. Mais, par exemple, mon interprétation est juste si l’on regarde le discours de Fin de partie (« pour moi, en dire c’est rationnel, c’est plus rapide que de dire c’est non irrationnel »).
Je suis conscient que la traduction « ne pas (ne pas être) » en un « être » est un automatisme ancré puissamment dans nos têtes. -
fdp a écrit:J'ai posé quelques questions sérieuses
Je viens de lire en diagonale, mais enfin bon, "sérieuses", n'exagérons rien :-D
Il t'a été dit et répété que le RPA est l'axiome que pour tout A: (non (non A)) =>A , et il y a même un endroit, je crois où tu dis un truc du genre "c'est tellement évident que ce n'est pas un axiome" ou quelque chose de ce genre.
Donc si ton sérieux consiste à dire que quand c'est vrai de chez vrai, c'est pas un axiome, sois plus explicite. Je te rappelle qu'en maths, tout ce qui n'est pas prouvé est un axiome (et le mot "axiome" est d'ailleurs un peu inutile, il vaut mieux parler d'hypothèses). C'est relatif à CHAQUE preuve.
Si à un moment tu dis "bon voilà, j'ai prouvé non (non A). Du coup, j'en déduis A msieurs-dames", et bien tu viens d'utiliser l'axiome que
non (non A) =>A
Même un simple moteur d'inférence s'en aperçoit :-D
Exemple d'exercices simples pour toi: non (non (A ou (non A)) est prouvable sans utiliser le RPA. Par contre, essaie donc de prouver juste (A ou (non A)) sans l'utiliser et tu recevras un prix Nobel.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
C’est bon. J’ai essayé de le prouver sans RPA, où est mon Prix Nobel ? :-D
-
Comme ça coute 3mn, je rappelle les axiomes à partir desquels sont déduites toutes les sciences:
1/ A=>(B=>A)
2/ (A et = (pour tout X: ([A=>(B=>X)] =>X) )
3/ (A et => (B et A)
4/ A =>(A et A)
5/ [(A=>B) et (B=>C)]=>(A=>C)
6/ $[\forall x(A\to] \to [(\forall xA)\to (\forall xB)]$
7/ $A\to (\forall xA)$ (seulement quand $A$ ne parle pas de $x$)
8/ [non(A)] = (A=>Tout)
9/ Le RPA: [ (non (non A))=>A]
10/ $[a\in \{x\mid R(x)\}] = R(a)$
Abréviations: $Tout:=(\forall X: X)$
A chaque fois que je poste je donne un jeu universel différent, je trouve ça plus marrant. Ils sont évidemment tous équivalents.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@dom: de manière intuitionniste? Où ça, que j'ai plaisir à te coopter :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Une bêtise, Christophe, tu disais qu’essayer suffisait.
Rien de plus. C’est vendredi, et je suis rincé.
Merci pour le rappel des règles. -
@Poirot dans ton message ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2089942,2091348#msg-2091348 tu veux dire que la version générale du problème posé par Thierry POMA est équivalente au tiers exclu ?
ça voudrait donc dire qu'on ne peut pas le démontrer sans la règle de l'absurde.
Par contre je n'ai pas bien compris ta preuve. Tu veux aboutir à $P\vee \neg P$ ? Mais j'ai l'impression que tu sous-entends qu'on a $x\in B \vee x\not\in B$ (qui est déjà le tiers exclu non ?).
Désolé mais je ne suis pas à l'aise avec la logique... -
Le titre du fil c'est « Démontrer que $\sqrt 2$ n'est pas rationnel ».
Moi j'aime bien collectionner les démonstrations des résultats importants, par exemple la Loi de Réciprocité Quadratique, ce que fait à merveille l'excellent Franz Lemmermeyer, qui en est à 246 https://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/fchrono.html.
Ou bien le théorème de Cayley Hamilton, dont Michel Coste a recueilli 30 démonstrations sous un titre plein d'humour façon « Que Choisir ? » https://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/HaCa.pdf
Ou le théorème de Pythagore : https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED037335.pdf
Et d'autres aussi...
J'avais suggéré de consacrer des fils à de telles collections, mais mon goût pour ce sujet n'est apparemment pas partagé :-(.
J'avoue que l'irrationalité de $\sqrt 2$ me semble de moindre intérêt que d'autres questions. L'argument classique arithmétique partant de $x^2=2y^2$ me comble suffisamment. Mais je constate que l'on trouve une variété de démonstrations ici et là, j'en ai donné une dans un message précédent, lue dans une revue états-unienne. On pourrait donc en faire une liste, et c'est ce qu'on pourrait attendre d'un fil qui porte ce titre. Et je pourrais finir par y trouver un certain intérêt.
Ce qui est pour moi incompréhensible, c'est cette déferlante logicienne à propos d'une question spécifiquement de nombres. Je salue la persévérance de Fin de Partie pour y résister (quels que soient nos désaccords sur les questions hors-maths), mais je crains que ce ne soit peine perdue devant l'acharnement des logiciens, professionnels ou amateurs.
Il m'est arrivé la même mésaventure une fois, lorsque j'avais évoqué les bases de Hamel de $\mathbb R$ sur $\mathbb Q$. C'est un théorème d'algèbre, qui se démontre de telle ou telle façon, en fonction de telle ou telle axiomatique, mais ça ne me concernait pas, j'avais ce théorème comme un outil dans une boîte à outils, et mon propos était d'utiliser ce théorème pour les équations fonctionnelles, sans me préoccuper de sa démonstration, et encore moins des fondements logiques de celles-ci. On m'a assommé de digressions logiques qui étaient pour moi sans intérêt, et pour tout dire hors-sujet. Si un jour je veux faire de la logique, j'en ferai, mais là ce n'était pas le sujet.
Ici non plus, pour l'irrationalité de $\sqrt 2$, ce n'est pas le sujet. Je veux dire à nos logiciens, professionnels ou amateurs, que chaque fois qu'on traite une question mathématique, on ne se propose pas de récrire les « Éléments de mathématique » de Bourbaki au complet, depuis les origines des connaissances mathématiques, dont la description varie d'ailleurs selon les interprétations personnelles de tel ou tel.
Alors peut-être pourrait-on faire collection de démonstrations de l'irrationalité de $\sqrt 2$, ce serait peut-être plus intéressant sur le plan mathématique proprement dit que les maltraitances de lépidoptères à propos de l'étiquetage « par l'absurde » ou non.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
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Chaurien, tu confonds les lépidoptères et les diptères.
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Oups, merci JLT, j'ai tenté de vérifier mais j'en avais marre.
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