Démontrer que racine de 2 n'est pas rationnel

Quelle agréabilité de ne plus être addictif au forum et d'y passer de temps à autre! :-D :-D

Cela dit, on peut reconnaitre à fdp un certain talent pour faire durer les fils simples:

1/ il commet une erreur pas grave,

2/ on le reprend pour qu'il évite de la faire à nouveau,

3/ et ça induit 150 pages de pseud-odébats, pas très cadrés.

Quand je me faisais avoir, je n'étais pas aussi admiratif, mais là, j'avoue, cliquer de tps à autre pour voir combien de gens il a embarqué (même s'il faut bien le reconnaitre, ils prennent plaisir à se faire avoir et discuter à perte de vue), c'est comme du cinéma gratuit (enfin je paie mon abonnement internet).

J'adore la fdprie finale (dont il fallait deviner qu'elle finirait par tomber):

fdp a écrit:

Mon propos porte sur cette falsification du langage qu'un tas de gens acceptent sans broncher parce que les gens*** qui la pratiquent et la promeuvent ont une aura de gens sachant et qu'il faut toujours être du côté de ces gens-là si on ne veut pas passer pour un inculte et il ne faut pas froisser ces gens-là.

Pour les lecteurs que ça amuse moins car ils ont du mal à en extirper la substantifique moelle, je rappelle les choses:

est un axiome et s'appelle axiome du raisonnement par l'absurde.

Tout au long du fil, si vous êtes patient, vous lirez des rhétoriques de + ou - bonne foi qui vous expliqueront "que, menfin, c'est vrai de vrai ce truc, pourquoi dire que c'est un axiome"

Ne vous en inquiétez pas. Les axiomes ne sont pas faits pour être faux en général. Ils sont bien entendu, de facto, attaqués** par les déductions qu'on en tire, mais bien souvent "ils résistent".

Un preuve est dite "faite par l'absurde" quand elle utilise cet axiome.

Un rappel aussi: (non A) := (A => [tout ce qu'on veut]) n'est pas un axiome AJOUTé aux règles de raisonnement direct (dite règles intuitionnistes). Ainsi, une preuve qui prétend déduire non A du fait qu'elle a prouvé A=> Tout, n'est donc évidemment pas un raisonnement par l'absurde.

Le reste de la discussion est un spectacle politique et je rends hommage à l'inventivité produite par toutes les motivations de mauvaise foi car elles sont agréables à lire.

Et je rappelle qu'il ne s'agit pas d'enculage de mouche mais d'une césure extrêmement importante actuellement dans la recherche scientifique, et qui a conditionné bien des découvertes. Après, on peut faire des moulients de bras pour dire qu'on préfère résoudre un equadif de niveau post bac et gonfler le torse en prétendant faire des maths ce faisant, ce qu'il y a de bien c'est qu'on a tous les droits, du moment que c'st explicite. Il n'y a, et heureusement, pas de prison pour les matheux qui n'ont pas des gouts banaux.

*** au sens où le risque parait augmenter formellement qu'on découvre qu'ils soient faux.

** c'est bien connu, je suis directeur de labo au CNRS, grand intellectuel hautement respecté qui passe tous les 15j sur bfm, titulaire d'un prix Nobel et mandaté pour une mission scientifique sur le climat par le directeur du FMI :-D .

Je fais partie de ceux qui savent, comme dit fdp, qu'il ne faudrait pas contredire pour être à la page :-D

[size=x-small](Je précise aux occasionnels que je plaisante, je suis en train de me faire tuer par l'EN en étant accusé de folie furieuse. Nouveau rebondissement avant-hier. Bonjour l'autorité intellectuelle :-D )[/size]

Christophe a écrit:

Pour les lecteurs que ça amuse moins car ils ont du mal à en extirper la substantifique moelle, je rappelle les choses:

non (non A) => A


et s'appelle axiome du raisonnement par l'absurde.

(...)
Une preuve est dite "faite par l'absurde" quand elle utilise cet axiome.

Ce n'est pas ce qui est appliqué à la fin d'un raisonnement dont certains lui refusent l'étiquette de raisonnement par l'absurde?

Montrant que $non(P)$ est faux (parce que cela conduit à une absurdité de supposer que c'est vrai) alors ton axiome nous indique que $P$ est vrai. Tu étais d'accord depuis tout ce temps avec moi et tu ne le dis que maintenant? X:-(

Christophe a écrit:

c'est bien connu, je suis directeur de labo en CNRS, grand intellectuel hautement respecté qui passe tous les 15j sur bfm, titulaire d'un prix Nobel et madaté pour une mision scientifique sur le climat par le directeur du FMI

Il ne faut pas sous-estimer (mais je pense que tu ne le fais pas) le capital symbolique que t'attribuent un certain nombre de gens fréquentant le forum.
Ce qui fait, que si tu dissertais intelligemment sur les chiens en alignant des faits exacts et qu'à la fin tu concluais par, c'est la raison pour laquelle les caniches ne sont pas des chiens, des gens te croiraient, du fait de la conjonction du capital symbolique et des propos intelligents et exacts précédents cette assertion.
(je prends un exemple caricatural pour bien montrer le mécanisme, je ne crois pas sérieusement qu'on arrive à convaincre des gens que les caniches ne sont pas des chiens)

supp

Je remercie Christophe je crois que je comprends maintenant son point de vue (ce n'est pas ironique)
Ce qu'il dit est, si j'ai bien compris, plus précisément : un raisonnement qui peut se passer de ce qu'il nomme "l'axiome du raisonnement par l'absurde" n'est pas un raisonnement par l'absurde.

Mais même si on peut se passer de cet axiome on peut l'utiliser tout de même. (si ce n'est pas contre notre religion).

Par ailleurs, le sens commun donné à démonstration par l'absurde ressemble à une définition informelle, qui est suffisamment vague (c'est ce que m'apprend Christophe indirectement) pour attraper plein de trucs qui sont différents mais qui ont assez de points communs pour être rangés dans la case démonstration par l'absurde (au sens commun). Je ne vois pas l'intérêt de changer ça d'autant que la plupart des mathématiciens n'en sont pas demandeurs je suis prêt à le parier.
D'autant plus que cela donne l'impression qu'on falsifie le langage et que ce faisant bientôt un gâteau de riz ne sera plus un gâteau de riz s'il contient du riz.

Règle de l'introduction de la négation :\[\dfrac{\Gamma\cup\{A\}\vdash\perp}{\Gamma\vdash\neg\,A}\]règle logique valable en logiques minimale et intuitionniste. (Source : La logique, pas à pas de Jacques Duparc)

Hypothèse : $\sqrt{2}\in\Q$

Raisonnement en langage courant : $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ pour certains $a$ et $b$ dans $\Z^*$ tels que $\mbox{pgcd}(a,\,b)=1$. Alors, $a^2=2\,b^2$, de sorte que $2|a^2$, d'où $2|a$. Posons $a=2\,a'$, pour un certain $a'\in\Z^*$. L'on obtient $2\,a'^{\,2}=b^2$, de sorte que $2|b^2$, d'où $2|b$. Ainsi $2$ divise-t-il à la fois $a$ et $b$, ce qui nous conduit inévitablement à une contradiction avec $\mbox{pgcd}(a,\,b)=1$.

Conclusion : $\sqrt{2}\not\in\Q$, en vertu de la règle de l'introduction de la négation.

Questionnement provisoire : quel que soit l'entier $z$, peut-on prouver intuitionnistiquement que $2|z^2\Rightarrow2|z$ ?

@Side : qu'est-ce qui est hors-sujet dans ce que j'ai écrit ?

fdp a écrit:

Il ne faut pas sous-estimer (mais je pense que tu ne le fais pas) le capital symbolique que t'attribuent un certain nombre de gens fréquentant le forum.

Il ne faut pas le surestimer non plus.

Sur le RPA, je rappelle que ça qualifie une FORME de présentation qui est

"Au lieu de prouver A, nous allons prouver que (non A)=>faux"

Après ce long fil, et sans l'avoir vraiment lu, mais tout de même un peu parcouru en diagonale et vu certaines diatribes anti-enculage de mouche hors-sujettes, je le redis, il est préférable, même si l'erreur est populairement répandue, de reprendre poliment et avec le sourire les gens qui disent aux amateurs "c'est un RPA" à propos d'un

"je vais vous prouver non(A). En fait, pour ça, je vais vous prouver A=>faux"

Il y a de multiples raisons PROFONDES et conséquentes à ça. Je ne les liste pas, je donne juste ce conseil.

C'est un peu comme le fait que le pédagogue "a le droit" d'expliquer à quoi son cours du jour va servir, et il n'ira pas en prison s'il le fait, mais c'est une faute grave sur le fond et en termes de conséquences sur les cerveaux***. Idem, on peut parler de conseil et les matheux de bonne volonté devraient suivre ce conseil ou s'interroger de manière très très très très très très très très très très très très sincère (et pas dans un esprit de rhétorique) sur pourquoi ils veulent déroger à ces conseils. Et s'appuyer sur des arguments solides et pas sur des postures de buveurs de rouge qui réclament un peu de respect pour la pétanque.

Mais les gens font ce qu'ils veulent of course (enfin oeuf course).


[size=x-small]*** inversion de polarité: dire à quoi sert A, c'est lister tout plein de A=>B's c'est à dire renforcer non(A) (je rappelle que nonA est juste l'affirmation que pour tout B, A=>B). C'est paralysant pour les neurones au moment de défendre A pendant une séance de cours. Plus tard, why not, mais[/size]..

Fin de partie : je te rappelle que toi, dans ce cadre, tu es pour que l’on n’écrive pas toujours ce qui est dans la tête des gens.
Je trouve ça bien pire.

Dom:
Je ne t'ai pas compris honnêtement. Je ne sais pas ce qu'il y a dans la tête des gens mais je ne sous-estime pas le pouvoir du langage naturel sur les gens et son impact. Vouloir faire comme si le langage naturel n'était pas important parce qu'on parle de mathématiques cela ne me semble pas être très avisé.
On ne peut pas demander sérieusement à des êtres humains de laisser au vestiaire avant d'entrer dans un cours de mathématiques leur connaissances/intuitions/raisonnements/culture liées à leur usage de la langue naturelle.

Side:

le mot intuitionniste est sûrement inspiré du mot impressionnisme. Ce dernier mot avait été conçu pour être péjoratif voire moqueur. Je ne serais pas étonné d'apprendre que le mot intuitionniste en mathématiques a le même parcours.

Dom:
Tout le monde ici s'est vu décrire durant sa scolarité ce qu'était une preuve par l'absurde.
Même Christophe, j'en suis sûr, a eu la même version qui ne parle pas de tiers-exclus et des subtilités que d'aucuns utilisent comme prétexte pour falsifier le sens des mots.

Bref, à chaque fois que quelqu'un prétend effectuer une preuve par l'absurde, les gens qui savent ce que c'est en sont informés d'une façon ou d'une autre donc ils savent que la négation de la proposition à démontrer est mobilisée à cette fin.

Pédagogiquement je te l'ai déjà dit, tu as peut-être raison il vaut mieux dans une preuve par l'absurde de l'irrationalité de racine carrée de deux commencer par: Supposons que racine carrée de deux ne soit pas irrationnelle...pour les gens qui ne sont pas attentifs ce sera comme une sorte de sirène qui hurle le message: attention une preuve par l'absurde est en cours de traitement.

Side:
Je n'ai pas d'information réelle sur l'origine du mot intuitionniste, j'émets seulement une hypothèse.
L'expression big bang au départ était péjorative créée par quelqu'un qui ne croyait pas à ce concept.
(la culture c'est comme la confiture.... X:-( )

supp

@side Dans ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2089942,2091894#msg-2091894, tu écris

``Quant à Serre, qui passe son temps sur les vidéos YouTube à minimiser les travaux de Wiles et Grothendick, on l'aura oublié d'ici une vingtaine d'années (si ce n'est pas déjà fait) alors qu'au XXIV siècle on parlera encore de Godel, Kolmogorov ou Von Neumann''

Est ce que tu pourrais rapporter de manière précise les propos de Serre dans lesquels il minimise les travaux de Wiles ? Merci. En espérant que cela ne soit pas trop technique car les travaux de Wiles, je n'y connais absolument rien.

@df Dans ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2089942,2091664#msg-2091664, tu écris à propos de Serre ``Lui qui, de son propre aveu, a dû attendre sa soixante-dixième année pour obtenir un résultat significatif en théorie des groupes, l’a exprimé dans un cadre logique minimal''.

Est ce que tu pourrais préciser de quoi il s'agit ? Merci. Pareil : en espérant que cela ne soit pas trop technique.

Bonjour Claude,
j’ai posté l’interview incriminé dans la rubrique « mathématiques et société ». Serre évoque un article dédié à Armand Borel sur les $\textbf{produits tensoriels de représentations en caractéristique p}$.
Les propos de Serre laissent à penser que c’est le premier résultat dont il ait tiré une certaine fierté ! Mais vu l’ampleur de son œuvre, je doute finalement que ce soit le seul résultat « significatif »  qu’il ait obtenu dans ce domaine. Je retire donc « significatif ».
...

Bonjour df,

De mon côté, ignare que je suis, il me paraît évident que je ne vais pas émettre de jugement sur Serre et ses travaux.

1. Dans l'interview de Serre, à propos de l'article dont tu parles (je crois), il est question de plaisir et pas de fierté. Pour moi, ce n'est pas la même chose. J'attache un extrait.

2. En ce qui concerne le mépris que tu as mentionné, je pense que tu fais allusion au deuxième extrait que j'attache. Personnellement, je n'y vois pas de mépris et pas de rapport avec la logique. Cf l'exemple qui suit.

3. Il me semble que parfois le but de certains articles n'est pas de faire avancer la science mais sa carrière ou un truc comme cela. On invente une notion, par exemple celle de $n$-absorbing $I$-ideal, on trouve 1 ou 2 propriétés et hop, c'est parti mon kiki.

Déjà Claude Quitté se dit ignare, alors moi, je ne sais même pas ce que je peux dire : je suis un sous-sous-sous-ignare ?

Side a écrit:

Ajout , histoire de parler pour ne rien dire : et si on me demandait de voter sur les mathématiciens qui ont le plus impacté le XX ème siècle (du point de vue de la société), je vote immédiatement pour K, VN, G, Poincaré (si on le considère du XX), Nash, sans doute d'autres mais je ne vote pas pour Serre.

Moi je serais effectivement bien incapable de voter. Je suis très lent d'esprit : une vie entière ne me suffirait pas pour comprendre vraiment les travaux de seulement l'un d'entre eux ! Alors les comprendre tous, franchement waouh ! Et en plus être suffisamment visionnaire pour avoir l'intuition de quels sont ceux qui marqueront durablement la recherche, ben franchement, chapeau ! Je m'incline.

Par contre, je ne vois pas vraiment le rapport avec ceci :

Side a écrit:

Je n'ai pas ailleurs aucune estime pour les gens qui dénigrent le travail des autres. Qu'ils soient mathématiciens ou pas.

Je suis très bête, mais il me semble qu'un scientifique ne passe pas à la postérité pour ses qualités humaines. Qu'on trouve quelqu'un antipathique ou désagréable n'ôte rien à la qualité de ses travaux, non ? Je veux dire, on peut admirer les travaux de quelqu'un tout en le trouvant imbuvable, non ?

Voici un document qui donne une réponse définitive à la dernière question :

Dans $\textbf{Cinq pépites mathématiques de John Conway}$, (Pour la science), Jean-Paul Delahaye mentionne une preuve très simple et très directe par le dessin de l'irrationalité de $\sqrt{2}$. Cette preuve serait due à Conway lui-même ou à un collègue: Stanley Tennenbaum.
L'article est réservé aux abonnés mais on peut en lire le début.
...

De tels articles devraient être lus gratuitement (voir avec la Ministre de la Culture). Voici l'article quasi-original, en anglais. Voici encore plus éloquent.

@df, c'est vrai que le dessin fait tout ! Car personnellement, je n'aurais jamais eu l'idée de déduire de n² = 2m² :
2(n-m)² = 2n² + 2m² - 4nm = 4m² + n² - 4nm = (2m-n)² !

Il semblerait d'ailleurs que personne ne l'a eue en 2500 ans ?!

@FdP : même pour la majorité des professeurs de Mathématique, $\neg\neg\,A\Leftrightarrow{}A$ (ce qui est vrai en logique traditionnelle), voire $\neg\neg\,A$ identique à $A$ (ce qui est complètement faux).

Foys a écrit:

... en passant par le fait -intuitionniste- que pour tout entier $n$, $n=0$ ou $n=1$ ou $n>1$

Dans le même ordre d'idées, je me suis posé la question suivante.
Je vois comment démontrer par récurrence : "pour tout n, n est pair ou n est impair".
Je vois comment démontrer que pour tout entier p explicité : "p est premier ou p est composé".
Mais je ne vois pas comment démontrer : "pour tout p, p est premier ou p est composé" (1).

Ma question est : est-ce que (1) est un théorème intuitionniste ?
Si oui, peut-on écrire la preuve ou admet-on que (1) est vrai parce qu'on sait comment on pourrait écrire la preuve pour tout entier p explicité ?

La démonstration sans parole est sublime.

Mais que signifie le dessin c ?

Quelqu'un aurait-il la patience de m'expliquer comment rédiger une preuve intuitionniste (formelle) du fait que tout nombre entier naturel est premier ou n'est pas premier ? Ce n'est ni par malice, ni par provocation que je pose la question. Je vois évidemment comment démontrer que 0, 1 ne sont pas premiers, que 2 est premier, etc, mais je n'ai aucune idée comment démontrer l'énoncé universel. Merci d'avance.

GG:

On peut par exemple montrer que pour tout $n$,
$(\forall k, (2 \leq k < n \to (k \nmid n))) \vee (\exists k, 2 \leq k < n \wedge k \mid n)$.
Avec la définition de nombre premier que tu donnes, on a bien $(\forall k, (2 \leq k < n \to (k \nmid n))) \to P(n)$ et $(\exists k, 2 \leq k < n \wedge k \mid n) \to \neg P(n)$, donc si on arrive à prouver ça, on a bien $\forall n, (P(n) \vee \neg P(n))$.

Pour démontrer ma première assertion, on remplace la borne $a < n$ par $a < M$ et on fait une récurrence sur $M$. On utilise le fait que pour tout $x,y$, $x$ divise $y$ ou $x$ ne divise pas $y$, ce qui se déduit par exemple de l'existence et unicité de la division euclidienne, qui elle-même peut se prouver de manière intuitionniste, etc...
Je peux détailler plus si nécessaire.