Théorème de Pythagore pour $n > 2$

Bonjour,

Soient $u_1,u_2,\ldots,u_n$ $n$ vecteurs d'un espace préhilbertien $E$.
On a le théorème de Pythagore "généralisé" : si pour tout couple $(i;j) \in [1;n]^2$ tel que $i \neq j $ on a $( u_i, u_j ) = 0$ alors $||\sum_{i=1}^n u_i||^2 = \sum_{i=1}^n ||u_i||^2 . $

La réciproque est fausse si $n> 2$ ... elle n'entraîne rien de plus que $\sum_{1 \leq i<j \leq n} (u_i,u_j) =0 $ !

Ma question est : peut-on trouver un contre-exemple, c'est-à-dire des vecteurs (au moins $3$ donc ! ) tels qu'ils ne soient pas orthogonaux 2 à 2 mais tels que $||\sum_{i=1}^n u_i||^2 = \sum_{i=1}^n ||u_i||^2 $ , c'est-à-dire tels que $\sum_{1 \leq i<j \leq n} (u_i,u_j) =0 $ ?

J'ai cherché dans $E=\R^2$ ou $ \R^3$ déjà mais rien... :-S

Merci !


@AD: comment on dit "intervalle fermé d'entiers" en Latex ? $[1;n]^2$ n'est pas correct...