Trinôme paramétré pour élèves d'élite

Bonjour,

$m = \frac{-(1-\cos{x})\pm \sqrt{(1-\cos{x})^2+4\sin^2(x)}}{4}\, ,$

avec racine complexe si nécessaire.

Cordialement B-)- :-D

[édit. Je simplifie même un $2$ tellement je suis clément.]
[édit. Erreur de signe sous la racine $-\to +$ :-( :-D]

bonsoir

il faut résoudre en cos(x) et non pas en m (ce qui n'a pas de sens)

ton trinôme en cos (x) s'écrit sous forme réduite : $(cos(x) - m)^2 - (m+1)(1-3m) = 0$

soit $cos(x) = m - ou + \sqrt{(m+1)(1-3m)}$

avec $-1 < m < 1/3$ (sinon les racines sont complexes)

d'autre par il faudra s'assurer que ces expressions en m sont bien situées entre - 1 et 1

pour m = - 1 tu obtiens cos x = -1 racine double soit $x = (2k+1)\pi$

pour m = 0 alors cos(x) = +ou - 1 (2 racines) soit $x = k\pi$

pour m = 1/3 alors 1 seule racine admissible en cos(x) soit $cos (x) = 3 - 2\sqrt{2}$

cordialement

Bonjour,

@jean lismonde : Tu as fait une erreur de calcul.

On suppose que $x,m$ sont réels.

On écrit $\displaystyle (\cos x-m)^2=(1-3 m)(1+m)$ et on impose la condition de positivité du carré : $\displaystyle -1\leq m\leq1/3.$
On a donc $\displaystyle \cos x =m\pm\sqrt{(1-3m)(1+m)}$ et on impose les conditions que le cosinus est plus grand que $-1$ et plus petit que $1$ :
Pour le signe positif, aucune autre condition n’est nécessaire.
Pour le signe négatif, on a cette condition additionnelle $m=-1$ ou $m\geq 0.$

Les solutions sont $\displaystyle \cos x=m+\sqrt{\phantom{a}}$ pour $\displaystyle -1\leq m\leq 1/3$, et $\displaystyle \cos x=m-\sqrt{\phantom{a}}$ pour $\displaystyle m=-1$ ou $\displaystyle 0\leq m\leq 1/3.$

Les solutions en $x$ sont immédiates.

Bonsoir,

Rescassol, oui je trouve aussi ça parlant.

Si on a fait le tour de $m(x)$ et $x(m)$, on peut aussi symétriser le point de vue... En posant $X=\cos{x}$ et $Y=m$ :

$\begin{pmatrix}X \\Y\end{pmatrix}^T \underbrace{\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 4\end{pmatrix}}_{\triangleq S} \begin{pmatrix}X \\Y\end{pmatrix} + 2Y = 1\, .$ $\quad (1)$

La contrainte sur le cosinus impose $-1\leq X\leq 1$. Sans la contrainte $(1)$ détermine ici une ellipse. Les valeurs propres de $S$ sont $\lambda_{\pm} = \frac{5\pm\sqrt{13}}{2}$. Pour les vecteurs propres, $u_-\propto(\frac{3+\sqrt{13}}{2}, 1)^T$ et $u_+\propto (-1, \frac{3+\sqrt{13}}{2})^T$ par exemple. Dans la base orthonormée $U=(u_- |u_+)$, en notant $Z=(z_-, z_+)^T=U^T \begin{pmatrix}X \\Y\end{pmatrix}$, $(1)$ se réécrit :

$\begin{equation}\lambda_-\left(z_- +\frac{u_{-,2}}{{\lambda_-}}\right)^2 + \lambda_+\left( z_+ + \frac{u_{+,2}}{{\lambda_+}}\right)^2 = 1 - u_{-,2}^2/\lambda_- - u_{+,2}^2/\lambda_+\, ,\quad(2) \end{equation}$

et on pourrait achever de résoudre les contraintes ($-1\leq u_{-,1} z_- + u_{+,1} z_+ \leq 1$), etc. Point de vue certainement pas plus pratique pour les calculs à cause des racines moches, mais pas inutile non plus.

Cordialement.

Avec les horizontales $m=-1$ et $m=1/3$ c'est encore mieux.