Espaces vectoriels supplémentaires
Bonsoir,
Corollaire 1.32 :
Soit $E$ un espace vectoriel.
Pour tout sous-espace vectoriel $E_1$, il existe toujours un supplémentaire. Le supplémentaire de $E_1$ n'est pas unique, mais si $E$ est de dimension finie, tous les supplémentaires de $E_1$ ont la même dimension.
Je ne comprends pas le début de la démonstration du théorème 1.33 qui dit que les conditions sont nécessaires.
Comment le corollaire 1.32 permet de montrer que $\dim E= \dim E_1 + \dim E_2$ ?
Corollaire 1.32 :
Soit $E$ un espace vectoriel.
Pour tout sous-espace vectoriel $E_1$, il existe toujours un supplémentaire. Le supplémentaire de $E_1$ n'est pas unique, mais si $E$ est de dimension finie, tous les supplémentaires de $E_1$ ont la même dimension.
Je ne comprends pas le début de la démonstration du théorème 1.33 qui dit que les conditions sont nécessaires.
Comment le corollaire 1.32 permet de montrer que $\dim E= \dim E_1 + \dim E_2$ ?
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Réponses
En d’autres termes, cela signifie que $A \Rightarrow B$.
Si $E=E_1 \oplus E_2$ alors d’après 1.29, on a que $E_1 \cap E_2=\{0\}$ et $E=E_1+E_2$.
Ensuite, 1.32 te dit qu’un sev admet un sev supplémentaire, montre que cela entraîne que :
$\dim (E_1+E_2)=\dim E_1 +\dim E_2-\dim (E_1 \cap E_2)$.
En fait la formule $\dim(E_1+E_2)= \dim E_1+ \dim E_2 - \dim (E_1 \cap E_2)$ est donnée 2 pages après.
J'ai vu précédemment que si $E$ est un espace vectoriel et $E_1,E_2$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ alors $E=E_1 \oplus E_2$ si et seulement si pour toute base $B_1$ de $E_1$ et toute base $B_2$ de $E_2$, $\{B_1,B_2 \}$ est une base de $E$.
C'est la démonstration du corollaire 1.32 qui donne le résultat :
Soit $E$ de dimension finie $n$.
Soit $\{v_1, \cdots ,v_p \}$ une base de $E_1$.
D'après le théorème de la base incomplète, il existe $w_{p+1}, \cdots w_n $ tel que $\{v_1, \cdots ,v_p,w_{p+1}, \cdots w_n \}$ est une base de $E$.
En posant $E_2=Vect \{w_{p+1}, \cdots w_n \}$ on obtient un supplémentaire de $E_1$ dans $E$.
Tous les supplémentaires de $E_1$ sont de dimension $n-p$ si $\dim E_1=p$.
Comment cet ensemble de bases peut-il être une base ?
Une base d'éléments d'un espace vectoriel $E$ est une famille d'éléments de $E$ indexée par un certain ensemble $I$ i.e. une application de $I$ dans $E$. Une telle base doit être notée $(e_i)_{i\in I}$ (c'est un élément de $E^I$, l'ensemble des applications de $I$ dans $E$).
Avec les notations de ton livre, ça induit plein d'erreurs possibles. Par exemple, dans $\R$, la famille $(1)$ est libre (c'est même une base), tandis que la famille $(1,1)$ est liée. Or vu que $\{1\}=\{1,1\}$, qu'est-ce que dirait ton livre ?
Je ne vois pas le rapport entre votre exemple et la propriété du livre sur les espaces supplémentaires.
Avec $E=\mathbb R,\ \mathcal B_1=\mathcal B_2 =\{1\}$ alors $\{\mathcal B_1,\mathcal B_2\}=\{\{1\},\{1\}\}=\{\{1\}\}$ qui n'est pas une base de $\mathbb R^2$ puisque $\{1\}$ n'est pas un couple de réels.
A toi de trouver ce qui doit remplacer $\{\mathcal B_1,\mathcal B_2\}$, c'est assez évident ...
Soit $B_1$ une base de $E_1$ et $B_2$ une base de $E_2$
On dit que $\{B_1,B_2 \}$ est une base de $E$ si et seulement si $E=E_1 \oplus E_2$
$\R=Vect \{1 \} \oplus \{0 \}$ alors que $\{ \{1 \}, \{0 \} \}$ n'est pas une base car elle contient $0$ ?
C'est quoi cette démo de la proposition 1.30 !
"supposons que $\lbrace{v_{\alpha},w_{\beta}\rbrace}_{(\alpha,\beta)\in A\times B} $...."
Si on compte le nombre d'éléments dans $A\times B$ on voit bien qu'il y a un gros problème. X:-(
j'ai mélangé avec les ev produits. et voulu retomber sur ce que disait Topopot
Avec $E=\mathbb R^2,\ \mathcal B_1=\{(1,0)\},\ \mathcal B_2=\{(0,1)\}$ alors $\{\mathcal B_1,\mathcal B_2\}=\{\{(1,0)\},\{(0,1)\}\}$ qui n'est pas une base de $\mathbb R^2$ puisque $\{(0,1)\}$ n'est pas un couple de réels.
$\{\mathcal B_1,\mathcal B_2\}$ n'est jamais une base de $E$ puisque c'est une ensemble de deux ensembles de vecteurs de $E$, pas un ensemble de vecteurs de $E$.
Tu détectais mieux les erreurs de tes livres, il y a 2 ans !!
familles et ensembles, en plus le dernier énoncé affiché est largement inutilisable.
Si, pour vérifier que $E=E_1 \oplus E_2$, on doit vraiment se taper de prendre une base arbitraire de $E_1$, une base arbitraire de $E_2$, les concaténer et vérifier que l'on obtient une base de $E$, eh bien on n'est pas sorti de l'auberge.
Ok merci je vois le problème maintenant. Je vais envoyer un message à l'auteur, il m'a dit qu'il y aurait une prochaine édition et il m'a remercié car j'ai trouvé 2 erreurs.
@Bd2017
Pour moi ce n'est pas une erreur, un élément répété plusieurs fois n'est compté qu'une fois étant donné que c'est une famille d'éléments.
Cette technique avec les bases est utilisable dans plusieurs exemples simples.
L'auteur donne aussi une autre méthode pour montrer que deux espaces sont supplémentaires.
Pas mal ! Exemple $E=\R^2,\ e_1=(1,0)$ et $e_2=(0,1)$
Avec toi on peut dire que
$B=\left( v_1,v_2,v_1,v_2,v_2\right)$ est une base de $\R^2$.
Si on suit l'énoncé de l'auteur, le plan de démonstration serait :
"Soit $B_1$ une base quelconque de $E_1$, et $B_2$ une base quelconque de $E_2$.
Montrons que leur concaténée est une base de $E$."
Bon courage avec ce genre de méthode.
@Bd2017
Je suis d'accord avec vous, je trouvais cette notation étrange quand j'ai lu la démonstration.
Je vais envoyer ces erreurs à l'auteur et voir ce qu'il dit.
Ou sinon : http://alain.troesch.free.fr/2019/Fichiers/coursMPSI-algebre.pdf (de plus, je trouve le concept d'« Éléments de preuve » excellent pour un apprentissage en autonomie).
C'est la première fois que je vois une famille notée $\{v_1, \cdots, v_n \}$ dans le livre de Grifone.
D'habitude je voyais $(v_1, \cdots, v_n)$.
Bon, une base c'est une famille. Moi aussi je mets des ( ) mais mettre des accolades c'est pas trop gênant mais un peu maladroit. Par contre l'indiçage de "la réunion" des 2 bases tel qu'il a été donné c'est bien plus que maladroit c'est farfelu.
Puis dans les sujets d'agreg et de concours Centrale Mines, ils utilisent les parenthèses et non des accolades.
"Il est vrai qu’en général une collection de deux bases n’est pas une base, mais c’est le cas si les deux bases sont dans deux sous-espaces en somme directe."
J'avoue que je n'ai pas compris la réponse.
"$ \{B1,B2 \}$ est un ensemble de deux bases.
Comment cet ensemble de bases peut-il être une base ?"
$\{B_1,B_2\}$ est un ensemble à 2 éléments, et ses éléments ne sont même pas des vecteurs...
Tu vois bien que la notation ensembliste n’est absolument pas adaptée pour parler de bases, ou plus précisément dans le cas d’espèce, de concaténation de bases. Mais l’abus d’écriture est certainement signalé quelque part dans le livre.