Corrélations croisées au sens de Fisher

J'ai 2 matrices de Fisher qui représentent des informations pour les mêmes variables (je veux dire que les colonnes / lignes sont dans le même ordre pour ces paramètres dans les 2 matrices).

Je voudrais maintenant faire la synthèse croisée de ces 2 matrices en appliquant pour chaque paramètre la formule connue (issue de la méthode de l'estimateur du maximum de vraisemblance):

$$ \dfrac{1}{\sigma_{\hat{\tau}}^{2}} = \dfrac{1}{\sigma_1^{2}} + \dfrac{1}{\sigma_2^{2}} \quad(1) $$

$ \sigma_{\hat{\tau}} $ représente le meilleur estimateur représentant la combinaison de l'échantillon 1 ($\sigma_1$) et d'un autre échantillon 2 ($\sigma_2$).

Maintenant, j'aimerais faire la même chose mais pour mes 2 matrices de Fisher, c'est-à-dire d'un point de vue matriciel au sens de Fisher.

Point important pour la suite : principalement, je ne sais pas si mon approche est correcte du point de vue de Fisher car je sais que diagonaliser la matrice de Fisher à la place la matrice de covariance (l'inverse de la matrice de Fisher) ne me semble pas avoir trop de sens (nous construisons une combinaison de variables aléatoires représentant de l'information qui n'est pas corrélée) Si quelqu'un pouvait me faire savoir si mon approche est correcte, sinon tout ce qui vient après est inutile.


Pour ma démarche, j'ai essayé de diagonaliser chacune de ces 2 matrices de Fisher. Ensuite, je somme ces 2 matrices diagonale et j'ai donc une matrice de Fisher diagonale globale, mais je ne sais pas comment revenir dans l'espace de départ (puisque la diagonalisation ne donne pas la même combinaison de vecteurs propres pour chaque matrice ).

Si je pouvais revenir à l'espace des paramètres de départ, je pourrais faire des produits matriciels pour obtenir la matrice de Fisher finale en faisant:

$$\text{Fisher(final, cross)} = P. \text{Fisher(diag,global)}. P^{- 1} \quad (2)$$

avec $ P $ les matrices de passage (composées de vecteurs propres) et je pourrais obtenir directement la matrice de covariance en inversant $ \text{Fisher(final, cross)}$

Comment puis-je revenir de $ (2) $ de la matrice diagonale $ \text{Fisher_{diag, global}} $ à l'espace de départ, c'est à dire les paramètres uniques?

Mes difficultés viennent du fait que la diagonalisation des 2 matrices de Fisher produira des matrices de passage différentes $ P_1 $ et $ P_2 $, c'est-à-dire des vecteurs propres différents, donc une combinaison linéaire différente de variables entre les deux. J'ai écrit la matrice de passage $ P $ ci-dessus mais elle n'est pas définie, peut être une solution serait une expression de $ P $ en fonction de $ P_1 $ et $ P_2 $. Les matrices de passage $ P_1 $ et $ P_2 $ sont sûrement le point clé de mon problème.

Il existe sûrement une propriété d'algèbre linéaire qui pourrait permettre de contourner ce problème de prise en compte des 2 combinaisons linéaires différentes de variables, et revenir dans l'espace de départ, c'est-à-dire l'espace de paramètres uniques qui représentent les matrices de Fisher.

Si quelqu'un pouvait m'aider, j'espère que j'ai été clair. Si vous avez des questions, n'hésitez pas.

PRECISIONS: Je prends les notations suivantes:

1. La matrice diagonale $ D $ est la somme des 2 matrices diagonales $ D_1 $ et $ D_2 $ (à partir des matrices initiales Fisher1 et Fisher2): $ D = D_1 + D_2 $

2. $ P_1 $ et $ P_2 $ sont respectivement les matrices de passage (de la diagonalisation "Fisher1" et "Fisher2") composées de vecteurs propres.

3. $ M_1 $ est la matrice Fisher1 et $ M_2 $ est la matrice Fisher2.

Donc, je cherche un moyen de trouver un endomorphisme $ M $ qui vérifie:

$ D = P^{-1}.M.P \quad (3)$ où $ P $ est la matrice de passage inconnue.

1) Donc, il y a 2 quantités inconnues dans mon problème:

1. La matrice de passage, c'est-à-dire les vecteurs propres (je cherche à la construire à partir des matrices $ P_1 $ et $ P_2 $).

2. La matrice $ M $ qui représente cet endomorphisme.

Mais dans ce monde de grandeurs inconnues, je connais cependant les valeurs propres de cet endomorphisme $ M $ (elles sont égales à la diagonale de la matrice $ D $).

Pour l'instant, j'ai essayé de faire la combinaison entre $ P_1 $ et $ P_2 $ afin d'obtenir (approximativement, sûrement):

$ P = P_1 + P_2 $

de cette façon, je peux calculer la matrice de Fisher croisée $ M $ comme ceci:

$ M = (P_1 + P_2) .D. (P_1 + P_2)^{- 1} $

Mais après avoir inversé $ M $ (pour obtenir une matrice de covariance croisée), les contraintes ne sont pas bonnes (sigma plus grand que prévu).

Quelqu'un pourrait-il m'aider à trouver un moyen de construire cette matrice de passage $ P $ à partir de $ P_1 $ et $ P_2 $? Comme vous pouvez le voir, une simple somme ne suffit pas.

Si une construction exacte de $ P $ à partir de $ P_1 $ et $ P_2 $ n'est pas possible, y a-t-il un moyen de l'approcher?

ps: voici le lien vers lesquels d'autres personnes m'ont redirigé : documentation link

Ce lien est assez technique et difficile pour en extraire des informations utiles et directement applicables.

2) On m'a aussi suggéré de prendre la moyenne des valeurs des 2 matrices diagonales, ce qui fait qu'elles sont égales. On apporterait ainsi une "part égale" dans l'information de Fisher mais cela
me dépasse un peu niveau compréhension. Une précision serait la bienvenue. Cepdendant, en faisant cette moyenne, j'obtiens de meilleures contraintes que dans le cas d'une simple somme entre les 2 matrices de Fisher $ M_1 $ et $ M_2 $ et une synthèse par une autre méthode valide cette approche, toujours dans la synthèse croisée entre les 2 matrices de Fisher.

3) Tout ceci est approximatif mais je pense aussi qu'une approche exacte, analytique est difficile à mettre en place pour ces corrélations croisées au sens de Fisher.

Si quelqu'un pouvait m'apporter son expertise et peut être voir dans le papier des choses facilement traitables, même si on doit rester dans de l'approximatif, le but étant de gagner niveau précision en ayant de meilleures contraintes sur l'estimation des paramètres.

Toute aide est la bienvenue.