Permutation

Je ne comprends rien à ce que tu écris. Si $gs=s$ alors $g= \text{id}$.

$F$ est invariant par $G'$ donc est un élément de $K[X_1, \dots, X_n, X]$.

Par définition, pour tout $g \in G'$, $g(F) = \prod_{s \in \mathfrak S_n} (X - g(u(s))).$ Or, on a dit au tout début que $g(u(s)) = u(gs)$ (avec les identifications dont on a parlé au début) et il n'y a plus qu'à dire que $\{gs \mid s \in \mathfrak S_n\} = \mathfrak S_n$ donc le produit est bien inchangé.

Au passage dans ce message, $gs$ désigne $g \circ s$, pas $g \circ g$.

C'est un énième abus de notation, on a étendu $g$ à $L'[X]$ de manière usuelle.

$g$ est a priori un automorphisme du corps $L'$, mais on l'étend en un automorphisme de l'anneau $L'[X]$ en posant $g\left(\sum_{i=0}^n a_i X^i\right) = \sum_{i=0}^n g(a_i) X^i$. C'est une construction qui revient constamment en théorie des corps. On vérifie que ça définit bien un automorphisme d'anneau, et que les éléments de $L'[X]$ fixés par tout $G'$ sont exactement les éléments de $K'[X]$. Avec ce critère, et le fait que $g(F)=g$ pour tout $g \in G'$, on obtient bien $F \in K'[X]$.

Il y a un dernier point à vérifier que j'avais zappé c'est qu'en fait $F \in K[X_1, \dots, X_n, X]$ et pas seulement $F \in K'[X] = K(X_1, \dots, X_n)[X]$, mais c'est parce qu'on peut montrer plus généralement qu'un élément de $L[X_1, \dots, X_n, X]$ fixé par tout $G'$ est dans $K[X_1, \dots, X_n, X]$ puisque $L[X_1, \dots, X_n, X] \cap K'[X] = K[X_1, \dots, X_n, X]$.

Les éléments $P$ de $L'[X]$ tels que pour tout $g \in G'$ on a $g(P)=P$.

L'argument des coefficients symétriques en les $\alpha_i$ c'est exactement la même chose que de dire que le polynôme est fixé par $G'$, c'est même comme ça que l'on montre que le sous-corps fixé par $G'$ est exactement $K'(X)$. Et ça provient effectivement des relations coefficients-racines.

Je pense que tu devrais commencer par travailler sur des exemples concrets sur $\mathbb Q$ avant de t'attaquer à la théorie de Galois sur des corps quelconques, car tu as l'air complètement noyé. Il faut t'imprégner des résultats de base de la théorie des corps.

Poirot Division euclidienne dans $L[X_1, \cdots, X_n]$ ??

Il y a des problèmes dans ce que tu écris, déjà ton $u(s)$ diffère de ce dont on avait parlé précédemment. Ensuite quand tu évalues tes polynômes à la fin j'imagine que c'est par rapport à la variable $X$.

Si on écrit les choses, on a $s^{-1} \cdot T_i = T_i(X_{s^{-1}(1)}, \dots, X_{s^{-1}(n)},X)$ d'où $$(s^{-1} \cdot T_i)(\vartheta) = T_i(X_{s^{-1}(1)}, \dots, X_{s^{-1}(n)}, \vartheta) = T_i(X_{s^{-1}(1)}, \dots, X_{s^{-1}(n)}, \alpha_1 X_1 + \dots + \alpha_n X_n)$$ tandis que $$T_i(u(s)) = T_i(X_1, \dots, X_n, \alpha_{s(1)} X_1 + \dots + \alpha_{s(n)} X_n) = T_i(X_1, \dots, X_n, \alpha_1 X_{s^{-1}(1)} + \dots + \alpha_n X_{s^{-1}(n)}),$$ donc on n'a pas égalité.

Par contre on a bien $(s^{-1} \cdot T_i)(\vartheta) = s^{-1} \cdot (T_i(u(s^{-1})))$. Je ne sais pas où tu veux en venir avec tout ça.

Je ne pense pas pouvoir t'aider je ne comprends plus grand-chose à ce qu'il se passe.