Stabilités triviales de N et Z par + et x

Alpha Lyrae
Alpha Lyrae
dans Algèbre
Bonsoir,

Je ne m’y connais pas et j’avais une question toute bête. Je voulais savoir si la stabilité des ensembles N et Z par + et par x était posée comme une définition ou si ça découlait de la construction de l’addition et de la multiplication dans ces deux ensembles respectifs ? Pour tout simplement savoir ce qui m’assure que l’addition de deux entiers et la multiplication de deux entiers... donnent bien des entiers.

Merci.

Alpha Lyrae

Réponses

  • ev
    ev
    Bonjour Al et bienvenue.

    Tout dépend de ta définition de l'ensemble \( \N \) que tu as choisie.

    $\bullet$ Par Peano, l'addition et la multiplication sont définies par récurrence.
    $\bullet$ Par von Neumann, par la réunion (disjointe) et le produit cartésien.

    Dans les deux cas, ce sont des lois internes, ne serait-ce que, à ce moment là de la cosmogonie mathématique, il n'y a pas grand-chose d'autre que \( \N \).

    L'ensemble \( \Z \)peut être vu comme construit par symétrisation de \( \N \) pour l'addition. La multiplication y est prolongée par la règle des signes que l'on s'est imposée. La multiplication est interne pour les mêmes raisons cosmogoniques (OK, j'exagère un poil) et on a même un anneau gratis.

    Amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Alpha Lyrae
    Alpha Lyrae
    Bonsoir,

    Merci beaucoup pour votre réponse !

    Bonne soirée !

    Alpha Lyrae
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