Une borne inférieure

Bonjour,$\newcommand{\sp}[1]{\;#1\;}$
Je n'ai pas trouvé, mais je donne quand même le peu d'idées qui m'est venu.
Je note $\|Q\|_1$ la somme des modules des coefs du polynôme $Q$. Déjà, est-on d'accord que la réponse à la question avec un sup au lieu d'un inf est $\|Q\|_1$ ? (je ne m'en sers pas pour la suite, mais ça m'intéresse quand même)

Notons $(a_k)$ les coefs de $Q$, $(b_k)$ ceux de $P$ et $(c_k)$ ceux de $QP$. Je suppose $\|P\|=1$. Soient $i_0$ et $j_0$ tels que $|a_{i_0}|$ et $|b_{j_0}|$ sont maximaux, et $k_0 := i_0+j_0$. On a $$\|QP\| \sp{\overset{(1)}\geqslant} |c_{k_0} | \sp= \left|\sum_{i=0}^{k_0} a_i b_{k_0-i}\right| \sp{\overset{(2)}\geqslant} |a_{i_0}| - \sum_{\substack{0\leqslant i\leqslant k_0,\\ i\neq i_0}} |a_i| \sp{\overset{(3)}\geqslant} 2\|Q\| - \|Q\|_1$$ donc $m\geqslant \max(0,2\|Q\| - \|Q\|_1)$. A-t-on une égalité ? C'est pas gagné... Si on prend $k_0 = \deg(Q)$ (ça revient à imposer $j_0 := \deg(Q)-i_0$), on peut faire de $(3)$ une égalité. Et en choisissant bien $(b_j)_{j\neq j_0}$, on peut aussi faire de $(2)$ une égalité. Mais il reste à rendre petits simultanément tous les autres $(c_k)$ :-(.
Si $Q$ est de la forme $\lambda X^n$, on a bien $m= \max(0,2\|Q\| - \|Q\|_1)$, mais dans le cas général je sais absolument pas si c'est le cas.

Oui, c'est la somme des modules des coefs. J'ai corrigé.

En prenant $P=1$, tu as plutôt $m\leqslant \|Q\|$.

Pour le polynôme $Q=X+1$ on a aussi $m= \max(0,2\|Q\| - \|Q\|_1)=0$

car avec $P_n=\dfrac1n\left(\dfrac{1-(-X)^n}{1+X}\right)^2$ on a $\|P_n\|=1$ et $\|P_nQ\|=\dfrac1n$