Spectre de M->AMB

Soit $L_A : M\mapsto AM$, $R_B: M\mapsto MB$. Alors $L_A,R_B$ commutent et $\varphi = L_AR_B$.

Soit $P$ le polynôme minimal de $A$, de racines $\lambda_1,...,\lambda_n$, de multiplicités $k_1,...,k_n$; pareil pour $Q$ avec $B$, $\mu_i$ et $l_i$.

$L_AR_B- \lambda_i \mu_j= (L_A-\lambda_i)R_B + \lambda_i(R_B-\mu_j)$, ça me donne deux termes: $(L_A-\lambda_iR)R_B$ et $\lambda_i(R_B-\mu_j)$

Soit donc $M:= \prod_{(i,j)}(X-\lambda_i\mu_j)^{k_i+l_j}$ (j'en avais initialement écrit une définition en termes de racines et multiplicités, mais ce n'est pas assez fort: les produits $\lambda_i\mu_j$ peuvent être égaux sinon, je veux dans ce cas les répéter)

Alors $M(L_AR_B)= 0$. En effet ce machin se développe en une grosse somme de produits de termes comme au-dessus. Je veux montrer que chacun de ces produits contient ou bien assez de $L_A-\lambda_i$, ou bien assez de $R_B-\mu_j$.

Supposons par exemple qu'un de ces produits ne contient pas assez de $L_A-\lambda_{i_0}$, c'est-à-dire moins de $k_{i_0}$. Alors pour tout $j$, les parties de ce sous-produit indexées par $(i_0,j)$ contiennent forcément au moins $l_j$ fois le termes $R_B-\mu_j$. Ceci étant vrai pour tout $j$, on obtient que notre terme est divisible par $Q(R_B) = 0$. Donc dans tous les cas, chaque terme du développement vaut $0$, donc le produit vaut bien $0$.

Je te laisse conclure.

(j'espère que j'ai pas dit de bêtise, c'est très mal écrit et il est tard, mais ça a l'air raisonnable)

si $AU=aU$ et $^tB=bV$ alors $AU^tVB=abU^tV$

Si !Bien sûr ...Mais tu as su rectifier !:-)

$^tBV=bV$ donc $^tVB=b^tV$ d'où si $M=U^tV $ alors $ AMB=AU^tV B = aUb^tV=ab U^tV =abM$
J'espère ne rien avoir oublié cette fois ;-)

La transposée apparaît naturellement car si on identifie $M_n(\C)$ à $E\otimes E^*$ où $E=\C^n$, alors l'application $M\mapsto AMB$ s'identifie à $A\otimes B^T$.

L'application $E\otimes E^*\to \mbox{End}(E)$ définie par $a\otimes \varphi\mapsto (x\mapsto \varphi(x)a)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.