Spectre de M->AMB
dans Algèbre
Bonsoir.
Soient $A,B$ deux matrices carrées de taille $n$ à coefficients complexes.
On considère l'endomorphisme $\varphi:M \mapsto AMB$ de $\mathscr{M}_n(\C)$.
Il est facile de prouver que l'ensemble des $ab$ où $a\in \text{Sp}(A)$ et $b\in \text{Sp}(B)$ est inclus dans le spectre de $\varphi$.
L'inclusion réciproque est-elle vraie?
Merci d'avance pour vos lumières.
Soient $A,B$ deux matrices carrées de taille $n$ à coefficients complexes.
On considère l'endomorphisme $\varphi:M \mapsto AMB$ de $\mathscr{M}_n(\C)$.
Il est facile de prouver que l'ensemble des $ab$ où $a\in \text{Sp}(A)$ et $b\in \text{Sp}(B)$ est inclus dans le spectre de $\varphi$.
L'inclusion réciproque est-elle vraie?
Merci d'avance pour vos lumières.
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Réponses
Maintenant, si tu pars de bases $(U_1,\dots,U_n)$ et $(L_1,\dots,L_n)$ dans lesquelles les matrices de $X\mapsto AX$ et ? sont triangulaires, ne peux-tu pas construire une base de $\mathcal{M}_n(\C)$ dans laquelle la matrice $M\mapsto AMB$ l'est aussi ?
Soit $P$ le polynôme minimal de $A$, de racines $\lambda_1,...,\lambda_n$, de multiplicités $k_1,...,k_n$; pareil pour $Q$ avec $B$, $\mu_i$ et $l_i$.
$L_AR_B- \lambda_i \mu_j= (L_A-\lambda_i)R_B + \lambda_i(R_B-\mu_j)$, ça me donne deux termes: $(L_A-\lambda_iR)R_B$ et $\lambda_i(R_B-\mu_j)$
Soit donc $M:= \prod_{(i,j)}(X-\lambda_i\mu_j)^{k_i+l_j}$ (j'en avais initialement écrit une définition en termes de racines et multiplicités, mais ce n'est pas assez fort: les produits $\lambda_i\mu_j$ peuvent être égaux sinon, je veux dans ce cas les répéter)
Alors $M(L_AR_B)= 0$. En effet ce machin se développe en une grosse somme de produits de termes comme au-dessus. Je veux montrer que chacun de ces produits contient ou bien assez de $L_A-\lambda_i$, ou bien assez de $R_B-\mu_j$.
Supposons par exemple qu'un de ces produits ne contient pas assez de $L_A-\lambda_{i_0}$, c'est-à-dire moins de $k_{i_0}$. Alors pour tout $j$, les parties de ce sous-produit indexées par $(i_0,j)$ contiennent forcément au moins $l_j$ fois le termes $R_B-\mu_j$. Ceci étant vrai pour tout $j$, on obtient que notre terme est divisible par $Q(R_B) = 0$. Donc dans tous les cas, chaque terme du développement vaut $0$, donc le produit vaut bien $0$.
Je te laisse conclure.
(j'espère que j'ai pas dit de bêtise, c'est très mal écrit et il est tard, mais ça a l'air raisonnable)
Je n'aurais pas pensé à la transposée...
J'espère ne rien avoir oublié cette fois ;-)
Sinon sur le fond, tu présupposes qu'une matrice $M$ se décompose en un produit de 2 matrices, j'imagine qu'on peut toujours trouver $2$ matrices $U$ et $V$ telles que $M=U^tV$ ? Mais de là à les exhiber, c'est peut être une autre histoire...;-)
Bon, à deuxième vue, ce n'est pas un scoop : les matrices élémentaires $E_{ij}$ sont bien de cette forme...