Ordre et morphisme de groupes
dans Algèbre
Bonjour
J'ai un petit problème de raisonnement dans la deuxième question, avant tout voilà ce que j'ai fait.
Pour la première question ; je pense que c'est direct.
x étant un élément de G d'ordre fini n i.e x^n =e
Or : f étant un morphisme de groupes : f(x^n)= f(x)^n =e
i.e. o(f(x)) divise n.
Pour la deuxième question ;
posons : A= <x> ( générateur de A) , f_|A : A --> K
Décomposition canonique nous donne : A / ker(f_|A ) est isomorphe a K = f(A), donc : o(A / ker(f_|A)) = o(A) \ o(ker f_|A) = o(f(A)) ce qui implique : o(A) = o(kerf_f|A) . o(f(A)). Bon à ce stade je ne sais pas comment déduire ; je n'ai même pas utilisé l'hypothèse (l'injectivité) ...
Si quelqu'un a une autre démarche peut-il me la proposer svp.
Merci.
J'ai un petit problème de raisonnement dans la deuxième question, avant tout voilà ce que j'ai fait.
Pour la première question ; je pense que c'est direct.
x étant un élément de G d'ordre fini n i.e x^n =e
Or : f étant un morphisme de groupes : f(x^n)= f(x)^n =e
i.e. o(f(x)) divise n.
Pour la deuxième question ;
posons : A= <x> ( générateur de A) , f_|A : A --> K
Décomposition canonique nous donne : A / ker(f_|A ) est isomorphe a K = f(A), donc : o(A / ker(f_|A)) = o(A) \ o(ker f_|A) = o(f(A)) ce qui implique : o(A) = o(kerf_f|A) . o(f(A)). Bon à ce stade je ne sais pas comment déduire ; je n'ai même pas utilisé l'hypothèse (l'injectivité) ...
Si quelqu'un a une autre démarche peut-il me la proposer svp.
Merci.
Réponses
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Soit $x$ et $p<n$ tel que $o(f(x))=p$ que peux-tu dire de $f(x^p)$ ?
-
f(x^p) = f(x)^p =e , non ?
-
Et que dire de $f(e)$ ? (n'oublie pas que $f$ est injectif).
Alain -
f(e) = f(x^p) = f(x)^p =e' comme f est injectif x^p =e
Donc : o(f(x)) \p et o(x) \p ainsi o(x) =o(f(x))
C'est bon ? -
La première ligne est correcte.
Je ne comprends pas ce que tu as voulu dire dans la seconde ligne ! Que veulent dire les \ là dedans ?
Dans la première ligne tu as montré que $x^p=e$, or tu sais que $x$ est d'ordre $n$ par hypothèse, donc tu en déduis que $n\mid p$ (c'est la définition de l'ordre d'un élément), donc en particulier $n\leq p$, mais tu avais supposé que $p\leq n$, tu en déduis donc que
si $f$ est injectif, $p$ (l'ordre de $f(x)$) est égal à $n$ (l'ordre de $x$). CQFD.
Alain -
\ signifie que l'ordre de x divise ...
Merci pour votre réponse. -
J'avais lu trop vite, la première ligne n'est pas correcteDon_juanes a écrit:f(e) = f(x^p) = f(x)^p =e' comme f est injectif x^p =e
"f(e) = f(x^p)" ne marche pas car tu n'as pas $e=x^p$ (dans $G$).
En revanche, $f$ est un morphisme donc $f(e)=e'$.
Ta première ligne devient correcte si tu écris :
f(e) = e' = f(x)^p = f(x^p), car f est un morphisme, et comme f est injectif e = x^p
Alain -
Bonjour Mr, désolé pour le retard (j'avais les partiels) merci beaucoup pour votre réponse.
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Bonjour!
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