Sous-groupe et sous-anneau
Bonjour
Dans les annexes de mon livre, il y a des compléments intéressants. Il y a un détail que je n'ai pas compris.
On appelle groupe un ensemble muni d'une loi interne qui vérifie les propriétés suivantes.
La loi est associative.
Il existe un élément neutre.
Tout élément est symétrisable.
Un sous-groupe d'un groupe $G$ est un sous-ensemble non vide $H$ de $G$ auquel la loi induite (c'est-à-dire la restriction de la loi de $G$ à $H$), confère une structure de groupe.
On voit facilement que :
$H \subset G$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si :
1) $H \ne \emptyset$
2) $\forall a,b \in H, \ ab^{-1} \in H$.
Je ne comprends pas comment on obtient le résultat après le "on voit facilement que" à partir des lois induites.
Un sous-anneau d'un anneau $A$ est un ensemble non vide de $A$ auquel les lois induites confèrent une structure d'anneau.
$B \subset A$ est un sous-anneau de $A$ si et seulement si :
1) $B \ne \emptyset$
2) $\forall a,b \in B ,\ a-b \in B $ et $ab \in B.$
Idem je ne comprends pas comment obtenir ce qui est après le "si et seulement si".
Dans les annexes de mon livre, il y a des compléments intéressants. Il y a un détail que je n'ai pas compris.
On appelle groupe un ensemble muni d'une loi interne qui vérifie les propriétés suivantes.
La loi est associative.
Il existe un élément neutre.
Tout élément est symétrisable.
Un sous-groupe d'un groupe $G$ est un sous-ensemble non vide $H$ de $G$ auquel la loi induite (c'est-à-dire la restriction de la loi de $G$ à $H$), confère une structure de groupe.
On voit facilement que :
$H \subset G$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si :
1) $H \ne \emptyset$
2) $\forall a,b \in H, \ ab^{-1} \in H$.
Je ne comprends pas comment on obtient le résultat après le "on voit facilement que" à partir des lois induites.
Un sous-anneau d'un anneau $A$ est un ensemble non vide de $A$ auquel les lois induites confèrent une structure d'anneau.
$B \subset A$ est un sous-anneau de $A$ si et seulement si :
1) $B \ne \emptyset$
2) $\forall a,b \in B ,\ a-b \in B $ et $ab \in B.$
Idem je ne comprends pas comment obtenir ce qui est après le "si et seulement si".
Réponses
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Le meilleur moyen de comprendre le "on voit facilement" c'est de prendre une feuille et un stylo et de faire le travail à la place de l'auteur pour se rendre compte que ce n'est pas trop compliqué d'arriver au résultat.
-
Ok merci.
$H \subset G$ est un sous-groupe de $G$ alors :
$\forall a,b,c \in H \ \ (a+b)+c= a+(b+c)$
$\forall a \in H \ a+e=e+a=a$
$\exists a^{-1} \in H \ a a^{-1} =1$
Je ne vois pas comment avancer. -
::oPour moi, OShine est un troll surdoué X:-(
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Je n'ai pas compris le sens de la remarque.
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Laisse tomber OShine.
Tu veux démontrer la première proposition, donc tu es dans un groupe, alors c’est quoi ces deux opérations? -
"Je ne vois pas comment avancer.
"maman, donne moi la main pour traverser la route"
En fait, tu n'a rien fait ! Tu demandes de l'aide sur des démonstrations analogues (sur d'autre sujets) et tu n'as pas réussi à comprendre comment on procède ! Tu te contentes d'écrire des simili maths :
"$H \subset G$ est un sous-groupe de $G$ alors" ?? Aucun rapport avec la question !!
On t'aide depuis plus de 2 ans et tu ne progresses pas sur les choses élémentaires (même si tu es capable de faire des "démonstrations" bien plus compliquées de mémoire, que tu oublieras dans quelques mois). Tu ne peux pas être un éternel débutant ! -
Amathoué,
j'ai expliqué il y a bientôt 2 ans à OS, sur un autre forum, comment prouver une équivalence. D'autres l'ont fait sur d'autres forums aussi. Inutile de lui donner des conseils, il n'apprend pas les bases, il veut seulement des preuves toutes rédigées. Il ne comprend même pas ce qu'il écrit ...
Cordialement. -
Oui Gérard, c’est vrai que ça commence à faire un peu beaucoup...
En plus, on ne peut pas poser des questions aussi élémentaires quand on prépare l’agrégation. -
Je corrige.
$H$ est non vide car il existe un élément neutre.
On a $\forall a,b \in H \ ae=ea=a$
$\forall a,b \in H \ ab=ba$
La loi de composition est interne donc $\forall a,b \in H \ ab \in H$
Comme $b^{-1} \in H$ on a $a b^{-1} \in H$
C'est tout ? -
Je ne sais pas ce que tu es en train de montrer en tout cas je pense que tu ne réponds pas à la question et ta ligne ab=ba je ne la comprends pas.
-
Oui c'est faux, le groupe n'est pas supposé commutatif.
$\forall a,b,c \in H \ (ab)c=a(bc)$
$\forall b \in H \ \ b^{-1} \in H$
On ne se sert pas de l'associativité c'est bizarre. $\forall a,b \in H \ b^{-1} \in H \implies ab^{-1} \in H$ car la loi de composition est interne -
Désolé mais je ne comprends toujours pas ce que tu fais
-
Je n'ai pas compris le résultat je crois ni ce qu'il faut faire.
-
Que cherches-tu à prouver?
-
Bonsoir,
Oshine, si tu continues à écrire des formules et des implications sans te soucier de bien structurer tes idées tant au niveau de la réflexion qu'au niveau de la rédaction, tu n'y arriveras pas:
- Tu as une équivalence à montrer:
-peux-tu raisonner par équivalences successives?
-ou par deux implications (condition nécessaire puis condition suffisante).
-Quand tu dis $e\in G$, ne faut-il pas le montrer.
.....
Cordialement. -
Ok je recommence. Par contre, ce qui m'étonne c'est que je n'utilise pas l'associativité.
Première implication :
Supposons que $H$ est une sous-groupe de $G$. Alors on a :
1) $H \ne \emptyset$
$\forall a,b \in H \ ab \in H$
$\forall a \in H \ a^{-1} \in H$
$H$ est bien non vide. Montrons que $\forall a,b \in H, \ ab^{-1} \in H$.
Soit $a,b \in H$ alors $b^{-1} \in H$ et donc $a b^{-1} \in H$.
Deuxième implication :
On suppose que l'on a $H \ne \emptyset$ et $\forall a,b \in H ,\ ab^{-1} \in H$.
Alors $H$ est non vide.
On a $aa^{-1} =e \in H$
De plus, $ea^{-1}=a^{-1} \in H$
On sait que $b^{-1} \in H $ donc $a (b^{-1})^{-1}=ab \in H$ -
C'est deja (beaucoup) mieux
C'est quoi le a dans la 2e implication quand tu dis aa^-1 appartient à H
Pourquoi l'associativité passe au sous groupe? En effet tu ne l'as pas justifié -
$a$ est un élément de $H$.
Soit $G$ un groupe alors $\forall a,b,c \in G$ on a $(ab)c=a(bc)$
Soit $H \subset G$. On a $\forall a,b,c \in H$ : $(ab)c=a(bc)$
En effet, la loi induite d'un sous-groupe est simplement la restriction de la loi de $G$ à $H$. -
Pour plus de rigueur tu devrais répondre à la question de noobey concernant [l'élément] a.
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Je n'ai pas trop compris la question mais $\forall a,b, \ ab^{-1} \in H$ donc en prenant $b=a$ on obtient $aa^{-1} =e \in H$.
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H non vide donc ...
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Vous êtes durs, la question posée initialement est très difficile. En concours (agrégation) elle ferait l'objet de plusieurs questions intermédiaires, et je doute que plus de 20% des candidats y arrivent sans indication.
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Rescassol ne connaît ni l'ironie ni les réponses habituelles d'OShine pour me répondre ça ;-)
-
Bonjour,
Oui, Chalk, je n'avais pas compris que tu ironisais.
Par contre, je connais les réponses habituelles d'OShine, depuis le temps qu'il nous en inonde.
Cordialement,
Rescassol
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Bonjour!
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