Groupe de transformations
Bonsoir,
Soit $G$ un groupe et $E$ un ensemble. On dit que $G$ opère ou agit sur $E$ si l'on se donne une application :
$G \times E {\color{red} {\ \to E}}\\ (a,x) \mapsto a \bullet x$
qui vérifie :
1) $\forall a,b \in G \ a \bullet (b \bullet x)= (a \ {\color{red}\bullet}\ b) \bullet x$
2) $\forall x \in E \ e \bullet x=x$
On note $\text{orbite} \{x \} = G \bullet x= \{a \bullet x \mid a \in G \}$
On dit que $G$ opère transitivement si $\forall x,y \in E ,\ \exists a \in G \ \text{tel que} \ x=a \bullet y$
C'est-à-dire pour tout couple d'éléments de $E$, il existe une transformation qui fait passer de l'un à l'autre (il y a une seule orbite).
Je ne comprends pas pourquoi il y a qu'une seule orbite si on opère transitivement.
Exemple :
Soit $E=\R^2$ et $G=O(2,\R)$ et l'application :
$G \times \R^2 {\color{red} {\to \R^2}}\\ (A,x) \mapsto Ax$
1) Les différentes orbites sont les cercles de centre $0$ et le point $0$.
2) L'action de $O(2,\R)$ sur $\R^2$ n'est pas transitive. Deux vecteurs de norme différente ne peuvent pas être transformés l'un dans l'autre par une transformation orthogonale.
Pour le 2 je pense avoir compris. Le groupe orthogonal conserve la norme.
Pour le point 1 je ne vois pas comment trouver ça.
[Je me suis permis de mettre en rouge ce que tu as omis.
La bullet rouge est la loi de composition dans $G$ et non l'action de $G$ sur $E$. AD]
Soit $G$ un groupe et $E$ un ensemble. On dit que $G$ opère ou agit sur $E$ si l'on se donne une application :
$G \times E {\color{red} {\ \to E}}\\ (a,x) \mapsto a \bullet x$
qui vérifie :
1) $\forall a,b \in G \ a \bullet (b \bullet x)= (a \ {\color{red}\bullet}\ b) \bullet x$
2) $\forall x \in E \ e \bullet x=x$
On note $\text{orbite} \{x \} = G \bullet x= \{a \bullet x \mid a \in G \}$
On dit que $G$ opère transitivement si $\forall x,y \in E ,\ \exists a \in G \ \text{tel que} \ x=a \bullet y$
C'est-à-dire pour tout couple d'éléments de $E$, il existe une transformation qui fait passer de l'un à l'autre (il y a une seule orbite).
Je ne comprends pas pourquoi il y a qu'une seule orbite si on opère transitivement.
Exemple :
Soit $E=\R^2$ et $G=O(2,\R)$ et l'application :
$G \times \R^2 {\color{red} {\to \R^2}}\\ (A,x) \mapsto Ax$
1) Les différentes orbites sont les cercles de centre $0$ et le point $0$.
2) L'action de $O(2,\R)$ sur $\R^2$ n'est pas transitive. Deux vecteurs de norme différente ne peuvent pas être transformés l'un dans l'autre par une transformation orthogonale.
Pour le 2 je pense avoir compris. Le groupe orthogonal conserve la norme.
Pour le point 1 je ne vois pas comment trouver ça.
[Je me suis permis de mettre en rouge ce que tu as omis.
La bullet rouge est la loi de composition dans $G$ et non l'action de $G$ sur $E$. AD]
Réponses
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Merci AD je m'étais posé la question justement.
-
OShine a écrit:Je ne comprends pas pourquoi il y a qu'une seule orbite si on opère transitivement.
Choisis un élément $x\in E$, écris son orbite $\mathrm{orbite}(x)$ et montre, avec l'hypothèse "action transitive", que tout $y\in E$ appartient à $\mathrm{orbite}(x)$.
Ce qui montrera que $E$ tout entier forme l'orbite de $x$ et donc qu'il n'y a qu'une seule orbite.
Alain -
Merci AD j'ai enfin compris.
Par définition d'une action de groupe, $\text{orbite}(x) \subset E$
Si $G$ agit transitivement alors $\forall y \in E \ y \in \text{orbite}(x) $ donc $E \subset \text{orbite}(x)$
Enfin pour une action transitive $\boxed{\text{orbite}(x) =E}$
Pour l'exemple, soit $x \in \R^2$.
$\text{orbite}(x) = \{ Ax \ | \ A \in O(2,\R) \}$
Or une matrice de $O(2,\R)$ s'écrit : $A=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & (-1)^{k+1} \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & (-1)^k \cos(\theta) \end{pmatrix}$
Si on pose $x=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
On obtient $Ax=\begin{pmatrix} \cos(\theta)x+(-1)^{k+1} \sin(\theta) y \\ \sin(\theta) x+(-1)^k \cos(\theta) y \end{pmatrix}$
Et à partir de là je ne vois pas. -
OShine
Tu as des $x$ vecteur de $\R^2$ et scalaire ! :-X
Prends la norme de $Ax$ et compare la à celle de $x$.
Où se situent les vecteurs $x$ et $Ax$ par rapport à $O$ dans $\R^2$ ?
Alain -
Je trouve $||Ax|| = ||x||^2$
Donc $\boxed{d(Ax,0)= ||x||^2}$ ce qui donne le résultat. On obtient de cercle de centre $0$ et de rayon $||x||^2$.
J'ai un autre exemple à la suite. On définit l'application : $GL(n,\R) \times \mathcal M_n(\R) \longrightarrow \mathcal M_n(\R) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (P,A) \mapsto P^{-1} A P$
L'action de $GL(n,\R)$ n'est pas transitive : les orbites sont constituées par les matrices semblables entre elles : il existe donc une bijection canonique entre l'ensemble des orbites et $End(\R)$.
Je n'ai pas compris pourquoi l'action n'est pas transitive, ni cette histoire de bijection canonique. -
Hello Oshine, c'est très bien de s'intéresser aux actions de groupe! Mais honnêtement vu ton topic de hier sur les sous-groupes, je pense qu'il y a plus important pour l'instant si tu veux t'attaquer aux groupes... Disons que les actions c'est niveau L3 alors que tu es niveau début L1 sur les groupes. Bon.
D'ailleurs tu n'as pas démontré que l'orbite de x est le cercle de rayon ||x|| (et pas ||x||² au fait) tu as juste montré que l'orbite est incluse dans le cercle... Tu sais inclusion inclusion réciproque toussa... c'est souvent que tu fais la faute (grave) -
Je ne m'attaque pas aux actions de groupe. Je lis et essaie de comprendre une annexe de mon livre sur les groupes qui fait 2 pages et qui présente quelques définitions et quelques exemples.
Je ne souhaite pas étudier un cours complet sur les actions de groupes.
C'est juste un petit complément après je retourne à mes pivots de Gauss.
Pour la réciproque.
Soit $y \in \mathcal C(0,||x||)$. Montrons que $y \in \text{orbite}(x)$ c'est-à-dire que $y=Ax$ avec $A \in O_2(\R)$
Supposons $x \ne 0$
On a $||y|| = ||x||$
Posons $x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} $ et $y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2\end{pmatrix} $
On a $x_1 ^2 + x_2 ^2 =y_1 ^2 + y_2 ^2$ et là je ne vois pas comment poursuivre. -
Dessin !
-
Je ne vois pas ce qu'il m'apporte de plus que $||x||=||y||$ :-S
-
Peut être une façon de passer de x à y ? ...
-
Il existe un $\theta \in \R$ tel que $y$ est l'image de $x$ par la rotation de centre $0$ et d'angle $\theta$.
La matrice de rotation d'angle $\theta$ est donnée par : $R=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & - \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} $
Donc $y=Rx$ avec $R \in O(2,\R)$ ce qui montre que $y$ est dans l'orbite de $x$. -
Juste pour être sûr c'est quoi ce theta?
Je te demande pas de me donner la valeur mais de m'en dire juste un peu plus -
@ Oshine : soit A un point de l'espace vectoriel R2, quel est son image par une rotation vectorielle $\phi$ d'angle $\alpha$ ? Quel est l'ensemble des $\phi$ (A) lorsque $\phi$ décrit SO(2,R) ?
Dessin, dessin, dessin, fait un dessin pour te clarifier les idées. -
L'angle entre les vecteurs $x$ et $y$.
Il n'y a pas besoin de dessin, on écrit $A(x,y)$ et $\phi(A)=(x',y')$ on utilise la matrice $R$ que j'ai défini précédemment et on a par produit matriciel :
$x'=\cos(\alpha) x - \sin(\alpha) y$ et $y'=x \sin(\alpha) + \cos(\alpha) y$ -
J'ai du mal avec l'exemple en bleu.
J'écris $\text{orbite} (M)= \{ P^{-1} A P \ | \ P \in GL(n,\R) \}$
Pourquoi les orbites sont constituées par les matrices semblables entre elles ?
C'est quoi cette histoire de bijection canonique ?
Pourquoi l'action n'est pas transitive ?
Dire que l'action n'est pas transitive, c'est trouver $M,M' \in \mathcal M_n(\R) \ \forall P \in GL(n,\R) \ M' \ne P^{-1} M P$ -
Pour ta 1ere question c'est la définition.
Pour la 2e, chaque matrice de l'orbite représente un meme endomorphisme dans une base differente
Pour la 3e In et 0 ne sont pas semblables -
Merci c'est très clair pour 1 et 3.
Il y a simplement le terme "bijection canonique" je ne vois pas à quoi ça correspond. J'ai cherché sur google je ne trouve rien.
J'ai du mal à faire le lien entre "chaque matrice de l'orbite représente un même endomorphisme dans une base différente" et la bijection canonique entre l'ensemble des orbites et l'ensemble des endomorphismes. -
Soit par exemple B la base canonique de $\R^n$ alors
$\phi $ définie par
$\phi(f)=orbite( Mat_B(f)) $
est bijective. -
Merci bien vu, j'essaie de le démontrer.
Montrons que $\phi$ est injective.
Si $f \in Ker(\phi)$ alors $\phi(f)=0$ et donc $\text{orbite} (Mat_B(f)) =0$
Donc $ \forall P \in GL(n,\R) \ \ P^{-1} Mat_B(f)) P=0 \implies Mat_B(f)) P = P \times 0=0 \implies Mat_B(f)) P P^{-1}= 0 P^{-1} $
Et enfin $Mat_B(f))=0$
Ainsi $f=0$ et $\phi$ est injective.
Montrons que $\phi$ est surjective.
Soit $Q \in \text{orbite} (Mat_B(f))$.
Alors $\exists P \in GL(n,\R) \ Q= P^{-1} Mat_B(f) P$
Et donc $P Q P^{-1} = Mat_B(f)$
On a l'existence d'un endomorphisme $f$ tel que $\phi(f)=Q$ : sa matrice dans la base canonique est semblable à la matrice $Q$.
Conclusion :
$\boxed{ \phi \ \text{est bijective} }$ -
Tu es sûr que c'est $End(\R)$ et non $End(\R^n)$.
Sinon on te l'a expliqué plus haut : ä chaque orbite correspond un élément de $End(\R^n)$ et inversement d'où le terme "canonique"; j'espère que tu n'attendais à trouver quelque chose du genre la bijection canonique est ... cette bijection.
Enfin tu retombés dans les mêmes problèmes, tu écris des calculs au lieu de réfléchir. -
Cela mis à part, $\phi$ est une application qui a tout $f\in End(\R^n)$ fait correspondre une orbite. Si je désigne $H$ l'ensemble des orbites.
Pour l'injectivité tu veux monter que $\ker (\phi) =0.$ Cela veut dire
1. Que $H$ est muni d'une structure d'espace vectoriel. Est-ce le cas ?
2. Que $\phi$ est linéaire. Est-ce le cas ?
3. Si tu réponds à oui aux questions 1 et 2, l'injectivité implique-t-elle la surjectivité ? pourquoi tu ne t'en sers pas ? -
@Nahar
D'accord endomorphisme canoniquement associé à une matrice.
Oui c'est $End(\R^n)$
@Bd2017
$H=\text{ orbite} (Mat_B(f))=\{ P^{-1} Mat_B(f) P \ \ | \ P \in GL_n(\R) \} $
$0 \in H$ car $Mat_B(0)=0$ et $P^{-1} 0 P=0$
Soit $A \in H$ et $B \in H$.
Alors $A=P^{-1} Mat_B(f) P$ et $B=Q ^{-1} Mat_B(f) Q $
Donc $A+B=P^{-1} Mat_B(f) P + Q ^{-1} Mat_B(f) Q$
Je ne vois pas comment faire pour montrer que $A+B \in H$.
Vous m'avez embrouillé ma méthode précédente fonctionnait parfaitement.
En plus, sans connaitre la dimension de $H$, l'équivalence injection surjection bijection n'est pas valable. On doit vérifier que l'ensemble de départ et d'arrivée ont la même dimension. Or ici on ne connait pas la dimension de l'ensemble des orbites. -
Tu t'aventures dans des trucs qui te passent 100m au dessus.
Est ce que H est un espace vectoriel ? C'est quoi 0 dans H? Les éléments de H sont des sous ensembles pour rappel... -
Oshine a écrit:@Bd2017
Vous m'avez embrouillé ma méthode précédente fonctionnait parfaitement.
Comment ça ? Où vois-tu une méthode? Je te pose des questions c'est justement parce que tu ne sais pas ce que tu écris.
Si tu parles de $\ker \phi$ c'est que $H$ est un e-v et que $\phi$ est linéaire. Alors c'est quoi l'addition de 2 orbites, et la multiplication d'une orbite par un scalaire.
Comme le dit @Nobey c'est quoi le $0$ dans $H$ ? -
Oui une orbite est un sous-ensemble.
Si $M \in \mathcal M_n(\R)$ alors $\text{orbite}(M)= \{ P^{-1} M P \ | \ P \in GL(n,\R) \}$
L'orbite d'un élément de $E=\mathcal M_n(\R)$ est un ensemble.
Donc l'ensemble des orbites est un ensemble d'ensembles. C'est ça qui est délicat.
Donc comment montrer qu'il y a une bijection entre l'ensemble des orbites et $End(\R^n)$ ? -
Moi je pense qu'il y a un problème dans le livre mais j'attends plus expérimenté...
Imaginons tu prends pour chaque orbite $O_i$ un représentant $M_i$ et tu associes l'endomorphisme canoniquement associé à $M_i$ c'est pas une surjection pour moi... Si $A$ et $B$ sont semblables les endomorphismes canoniquement associés à $A$ et $B$ ne sont pas atteints tous les 2 à la fois par l'application...
Donc je ne vois pas de quoi il parlent par bijection canonique...
Et dans l'autre sens, si je prends le $\phi$ de bd, si je prends
$f(e_1) = e_1 + e_2$
$f(e_2) = e_1 + e_2$
et
$g(e_1) = 2e_1$
$g(e_2) = 0$
Il me semble que f et g ont même orbite... -
Bonjour
Oui effectivement il y a un problème. Deux endomorphismes différents peuvent être représentés dans une même base par des matrices semblables. -
Ok merci je vais le signaler à l'auteur.
Je tente de montrer que les matrices associées aux endomorphismes que tu proposes Noobey sont semblables.
Soit $B=(e_1,e_2)$
Posons $F=Mat_B (f)= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $
Posons $G=Mat_B (g)= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $
Comment montrer qu'elles sont semblables ? -
Je veux bien que tu reprennes ton cours à 0 mais quand même tu te rappelles pas de ce que c'est la diagonalisation?...
-
OK je me souviens F est diagonalisable donc il existe une base ou elle est diagonale.
Les valeurs propres sont 2 et 0. -
L'application n'est pas injective car pour une même orbite on a 2 endomorphismes différents. Votre exemple le montre très bien.
Pour la surjectivité, je n'ai pas trop compris Noobey.
$\phi$ n'est pas surjective si il existe une orbite $O_i$ de l'ensemble des orbites tel que pour tout endomorphisme $f $ de $\R^n$ on a : $\text{orbite}(Mat_B(f) ) \ne O_i$
Comment on montre ça ? -
@Oshine a écrit:Ok merci je vais le signaler à l'auteur.
Maintenant ça fait la troisième fois. Je t'ai déjà dit que statistiquement tu vas le faire souvent. (td)
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2109254
De plus tu ne vas tout de même pas lui signaler, à chaque fois des erreurs que tu n'es pas capable de relever par toi même.
D'autre part si tu avais cherché à faire une démo correcte (qui a du sens) tu aurais pu voir que $\phi$ n'est pas bijective. -
Oshine a écrit:$\phi$ n'est pas surjective si il existe une orbite $O_i$ de l'ensemble des orbites tel que pour tout endomorphisme $f $ de $\R^n$ on a : $\text{orbite}(Mat_B(f) ) \ne O_i.$
Comment on montre ça ?
Laisse tomber on n'en a plus rien à faire de $\phi$ et d'autre part c'est hyper évident. Si tu ne vois pas, je te conseille d'ouvrir les yeux ou alors de faire autre chose (regarder un film, faire un footing, aller voir une nana...) -
Comment vous savez ça ce résultat ? Il est classique ?
"Deux endomorphismes différents peuvent être représentés dans une même base par des matrices semblables." -
Mais au lieu d'écrire à Grifone à chaque fois t'as qu'à répertorier toutes les erreurs que tu rencontres et tu lui envoies à la fin au lieu de lui envoyer 50 mails à chaque fois 8-)
-
J'ai un jour décelé près de 300 coquilles dans un livre (un pavé assez dense). Heureusement que je ne les ai pas envoyées une à une à l'auteur... :-D
-
Le livre était déjà publié ?
-
O'Shine, il y a peu de temps, tu as montré ton incapacité à comprendre que si 3 vecteurs de $\mathbb{R}^3$ sont liés, alors ils ne peuvent former une famille génératrice de $\mathbb{R}^3$ ( (ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2098392,2098440#msg-2098440 ) alors laisse tomber les actions de groupes et concentre toi sur les cours de première année.
D'ailleurs, tu es un collègue en stage, alors concentre toi sur cela. Et arrête d'abreuver le forum de commentaires du genre "le niveau de mes 4ème est très bas", etc, parce que le tien, de niveau, est également très bas au vu de ta fonction. Il serait peut être temps de mûrir et de gagner en autonomie.
Pour l'instant tu as la même mentalité que tes élèves, il suffit de remplacer "$\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$" par "montrer que $(v_1, v_2, v_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$. -
@Poirot je ne fais pas un procès.
Je veux que le livre soit parfait pour les futurs étudiants qui l'achèteront c'est mon côté perfectionniste.
L'auteur souhaite éliminer les coquilles du livre et si je peux l'aider j'en suis heureux.
@Noobey merci l'auteur a confirmé l'erreur pour l'injectivité. Par contre, @Bd2017 d'après lui elle est surjective alors que vous me demandiez de prouver le contraire.
" Il y a bien une application de l’ensemble des endomorphismes sur l’ensembles des orbites, qui est surjective, mais elle n’est pas injective."
@SchumiSutil
Si j'avais un niveau très bas je ne me poserais pas autant de questions sur des passages faux.
Même si je ne sais pas corriger toutes les erreurs, j'ai une tendance à trouver les passages qui posent problème. -
Tu n'as pas compris.
L'application qui à une orbite associe un endomorphisme "canoniquement associé" n'est pas surjective
L'application qui à un endomorphisme associe une orbite (donc en quelque sorte "l'application inverse") n'est pas injective. -
Noobey d'accord merci.
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