Système d'équations

Pablo_de_retour · October 2020

Bonsoir à tous

Connaissez vous un moyen de résoudre le système suivant, dans $ \mathbb{C} $, en les inconnues, $ a_1 , a_0 , b_1 , b_0 , d_1 $ et $ d_0 $ ?
Voici le système dont il est question dans ce problème, $$ \begin{cases} (a_1 x + a_0 )(b_1 x^2 + b_0 x + 1 ) = x^3 - 7 \ x^2 + 9 \ x + a_0 \\ (a_1 x + a_0 )( x^2 + d_1 x + d_0 ) = a_1 \ x^3 - 10 \ x^2 + 4 \ x -1 \end{cases}

$$ Merci d'avance.

Pablo_de_retour · October 2020

Il me semble qu'il s'agit de trouver un facteur en commun, $ (a_1 x + a_0) $, des deux polynômes $ P(x) = x^3 - 7 \ x^2 + 9 \ x + a_0 $ et $ Q(x) = a_1 \ x^3 - 10 \ x^2 + 4 \ x -1 $. Non ?

YvesM · October 2020

Bonjour,

Pour tout $x$ dans $\C$ ?

Pablo_de_retour · October 2020

Oui. :-)

Dreamer · October 2020

Bonjour.

N'existe-t-il pas un critère pour vérifier que deux polynômes distincts et non constants ont une racine commune ?

A bientôt.

Pablo_de_retour · October 2020

Bonjour Dreamer,
Comment s'appelle-t-il ce critère ?
Est ce que c'est l'algorithme d'Euclide ?

Dreamer · October 2020

Un petit indice, car donner la réponse tout de suite n'est pas une bonne chose : calcul sur une matrice contenant les coefficients de chaque polynôme, arrangés d'une certaine façon.

Pablo_de_retour · October 2020

On calcule le résultant ? C'est un peu compliqué cette méthode. J'aurais souhaité utiliser une méthode plus simple. :-)

Dreamer · October 2020

Il est toujours possible de faire les graphiques des courbes représentant les deux polynômes et de vérifier qu'elles se recoupent sur l'axe des abscisses.

C'est une méthode plus simple.

A bientôt.

Rescassol · October 2020

Bonjour,

Qu'est ce que tu racontes, Pablo ? Un calcul de résultant est très simple, au contraire.

Cordialement,

Rescassol

Poirot · October 2020

Pour quelqu'un qui a résolu la conjecture de Hodge et infirmé la théorie de Galois, le résultant ne devrait pas paraître compliqué !

Rescassol · October 2020

Bonjour,

$P$ et $Q$ ont une racine commune si le point $(a_0;a_1)$ est sur la courbe d'équation:
$x^3y^3+149x^2y^2+513xy^2-820x^2y+1000x^2-3063xy+729y^2+3824x-4708y+6007=0$

Cordialement,

Rescassol 111090

P. · October 2020

Ouais, le calcul est simple avec Mathematica alpha, mais le resultat est complique : un polynome pas homogene de degres 3 et 3 par rapport aux variables $x=a_0, y=a_1$ sans structure particuliere.

df · October 2020

Pablo, en infirmant la théorie de Galois, tu as du même coup rendu obsolète le résultant !
... 111092

Dreamer · October 2020

Ah mais non, il ne faut pas infirmer la théorie de Galois à la légère...
Et il n'y a pas que moi qui fait des résultants à tours de bras. Navré d'apprendre que tous ces calculs sont invalidés...
Et tu imagines si on ne peut plus étudier les extensions de corps ? Quel gouffre théorique !
Sans compter le travail de Julia Paule qui est pratiquement en train de ressusciter les fondements de la théorie de Galois...
Pablo, si tu veux conserver ma bienveillance, tu as intérêt à infirmer ton infirmation de cette théorie sans laquelle je ne pourrais pratiquement plus combler mes temps d'attente parfois forts nombreux à l'avenir.

Edit : D'ailleurs, en guise de preuve de bonne volonté, je te prie d'élaborer un critère similaire à celui dont tu nous a dépouillés au moyen de suites de Sturm. Pour le coup, il y aura bien les divisions euclidiennes que tu évoquais.
À bientôt.

Math Coss · October 2020

Tiens, même figure en pdf avec Sage (juste pour voir que les logiciels sont d'accord, Galois ou pas).

Rescassol · October 2020

Bonsoir,

J'ai fait ma figure avec Géogébra après avoir demandé le résultant à Matlab avec une fonction de mon cru.

Cordialement,

Rescassol

Pablo_de_retour · October 2020

Merci à tous ceux qui m'ont répondu : Dreamer, Poirot, YvesM, Rescassol, ... , et à tous les autres.
Merci beaucoup.

Pablo_de_retour · October 2020

Bonsoir,

Je n'ai pas encore reçu de réponse satisfaisante, à propos de ce sujet.
Malheureusement, la méthode de Rescassol d'utiliser le résultant est très compliquée et ne mène à rien.
Voici comment, je vois les choses,
On a,
$$ \begin{cases} (a_1 x + a_0 )(b_1 x^2 + b_0 x + 1 ) = x^3 - 7 \ x^2 + 9 \ x + a_0 \\ (a_1 x + a_0 )( x^2 + d_1 x + d_0 ) = a_1 \ x^3 - 10 \ x^2 + 4 \ x -1 \end{cases} $$
Donc,
$$ \begin{cases} a_1 x + a_0 = \dfrac{x^3 - 7 \ x^2 + 9 \ x + a_0}{b_1 x^2 + b_0 x + 1 } \\ a_1 x + a_0 = \dfrac{a_1 \ x^3 - 10 \ x^2 + 4 \ x -1}{x^2 + d_1 x + d_0} \end{cases} $$
C'est à dire,
$$ \dfrac{x^3 - 7 \ x^2 + 9 \ x + a_0}{b_1 x^2 + b_0 x + 1 } = \dfrac{a_1 \ x^3 - 10 \ x^2 + 4 \ x -1}{x^2 + d_1 x + d_0} $$
C'est à dire,
$$ (x^3 - 7 \ x^2 + 9 \ x + a_0)( x^2 + d_1 x + d_0) = (a_1 \ x^3 - 10 \ x^2 + 4 \ x -1) (b_1 x^2 + b_0 x + 1) $$.
C'est à dire,
$$ \begin{cases} a_1 b_1 = 1 \\ d_1 - 7 = a_1 b_0 - 10 b_1 \\ 9 - 7 d_1 + d_0 = a_1 - 10 b_0 + 4 b_1 \\ a_0 + 9 d_1 - 7 d_0 = - 10 + 4 b_0 - b_1 \\ d_1 a_0 + 9 d_0 = 4 - b_0 \\ a_0 d_0 = -1 \end{cases} $$
Donc, comment résoudre ce système en tenant compte du fait que $ a_1 x + a_0 $ est un facteur commun entre $ x^3 - 7 \ x^2 + 9 \ x + a_0 $, et
$ a_1 \ x^3 - 10 \ x^2 + 4 \ x -1 $ ?

Merci d'avance.

YvesM · October 2020

Bonjour,

Tu résous par élimination. C’est facile. A la fin tu tombes sur deux variables solutions d’un système merdique que l’on ne sait pas résoudre.

Pablo_de_retour · October 2020

Merci Yves.
Je ne sais pas le résoudre par élimination. Peux tu me montrer comment s'il te plaît ?
Merci infiniment.

Rescassol · October 2020

Bonsoir,

Tu te moques du monde, Pablo, on ne recule pas devant une élimination quand on a vaincu Hodge.

Cordialement,

Rescassol

Pablo_de_retour · October 2020

Oui, mais ici, certaines équations de ce système sont quadratiques et non linéaires. Comment veux tu que j'applique l'élimination à ce système ?

YvesM · October 2020

Bonjour,

Non, je ne le fais pas pour toi. Tu ordonnes : $\displaystyle a_0,a_1,b_0,b_1,d_0,d_1$ et tu exprimes une variables selon celles à sa gauche. Par exemple, $\displaystyle a_1b_1=1$ donne $\displaystyle b_1 = {1 \over a_1}.$
A la fin, tu obtiens un système merdique en $\displaystyle a_0, a_1.$

Pablo_de_retour · October 2020

Merci YvesM. Je vais chercher aussi dans ce sens là.
Voici une manière de simplifier le système de départ,
$$ \begin{cases} (a_1 x + a_0 )(b_1 x^2 + b_0 x + 1 ) = x^3 - 7 \ x^2 + 9 \ x + a_0 \\ (a_1 x + a_0 )( x^2 + d_1 x + d_0 ) = a_1 \ x^3 - 10 \ x^2 + 4 \ x -1 \end{cases} $$
On a, $ (a_1 x + a_0 )(b_1 x^2 + b_0 x + 1 ) = x^3 - 7 \ x^2 + 9 x + a_0 $ équivaut à $ (a_1 x + a_0 )(b_1 x^2 + b_0 x)+ (a_1 x + a_0 ) = x^3 - 7 \ x^2 + 9 x - a_1 x + (a_1 x+ a_0) $
C'est à dire, $ (a_1 x + a_0 )(b_1 x^2 + b_0 x) = x^3 - 7 \ x^2 + 9 x - a_1 x $
C'est à dire, $ (a_1 x + a_0 )(b_1 x + b_0) = x^2 - 7 \ x +( 9 - a_1 ) $
On a aussi, $ (a_1 x + a_0 )( x^2 + d_1 x + d_0 ) = a_1 \ x^3 - 10 \ x^2 + 4 \ x -1 $ qui équivaut à,
$ (a_1 x + a_0 )( d_1 x + d_0 )+ ( a_1 x^3 + a_0 x^2 ) = ( a_1 \ x^3 + a_0 x^2 ) - a_0 x^2 - 10 \ x^2 + 4 \ x -1 $,
qui équivaut, $ (a_1 x + a_0 )( d_1 x + d_0 ) = - (a_0 + 10 ) \ x^2 + 4 \ x -1 $
Donc, le système,
$$ \begin{cases} (a_1 x + a_0 )(b_1 x^2 + b_0 x + 1 ) = x^3 - 7 \ x^2 + 9 \ x + a_0 \\ (a_1 x + a_0 )( x^2 + d_1 x + d_0 ) = a_1 \ x^3 - 10 \ x^2 + 4 \ x -1 \end{cases} $$
équivaut au système,
$$ \begin{cases} (a_1 x + a_0 )(b_1 x + b_0 ) = x^2 - 7 \ x + (9 - a_1) \\ (a_1 x + a_0 )( d_1 x + d_0 ) = -(a_0 + 10 ) \ x^2 + 4 \ x -1 \end{cases} $$
Comment alors résoudre le système,
$$ \begin{cases} (a_1 x + a_0 )(b_1 x + b_0 ) = x^2 - 7 \ x + (9 - a_1) \\ (a_1 x + a_0 )( d_1 x + d_0 ) = -(a_0 + 10 ) \ x^2 + 4 \ x -1 \end{cases} $$ ?
Merci d'avance.

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