Stabilité en dimension finie

Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $u\in\mathcal L(E)$, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $p$ et $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$.
On note $\mathcal B_F:=(e_1,\dots, e_p)$ une base de $F$ et $\mathcal B_G:=(e_{p+1},\dots,e_n)$ une base de $G$, de sorte que $\mathcal B:=(e_1,\dots e_n)$ soit une base de $E$.

On suppose $F$ stable par $u$ i.e. $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)\in\mathcal M_n(\K)$ est une matrice par blocs de la forme $\begin{pmatrix} A & B \\ 0_{n-p,p} & D \end{pmatrix}$.

En notant $u_F\in\mathcal L(F)$ l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$, on a $A=\mathrm{Mat}_{\mathcal B_F}(u_F)\in\mathcal M_p(\K)$.

En notant la surjection canonique $\pi:x\in E\mapsto \overline{x}\in E/F$, $\pi\circ u\in\mathcal L(E,E/F)$ induit par passage au quotient une unique application $u_{E/F}\in\mathcal L(E/F)$ telle que $u_{E/F}\circ \pi=\pi\circ u$. En notant $\mathcal B_{E/F}:=(\overline{e_{p+1}},\dots,\overline{e_n})$ qui est une base de $E/F$, on a $D=\mathrm{Mat}_{\mathcal B_{E/F}}(u_{E/F})\in\mathcal M_{n-p}(\K)$.

Est-ce que, de la même façon que pour $A$ et $D$, il existe une interprétation/formulation possible de la matrice $B\in\mathcal M_{n-p,p}(\K)$ ? Même si c'est tordu je suis preneur !