Produit semi-direct et groupe quotient

Merci à tous pour vos réponses.

@AD Merci beaucoup pour ton exemple, ça marche, $A$ et $H$ ne sont pas distingués dans $\mathfrak{S}_4$ (avec les $p$-Sylows), et on a bien une bijection $A \times H \rightarrow \mathfrak{S}_4$.

Si l'application : $A \times H \rightarrow G, (a,h) \mapsto ah$ est bijective, alors on a automatiquement $A \cap H = 1$ (en effet, si $x \in A \cap H$, alors l'image de $(x, x^{-1})$ est $1$, donc $x=1$, du fait de l'injectivité).

@Math Coss : $A \cap H = 1$ et $o(A)o(H)=o(G)$, cela suffit pour dire que $G=AH=HA$ ? Donc cela suffit pour dire qu'on a bien la bijection $A \times H \rightarrow AH=G$.

En effet, avec ces hypothèses, l'application $A \times H \rightarrow AH, (a,h) \mapsto ah$ est bijective (surjective évident, injective facile avec un petit calcul et $A \cap H = 1$). Une considération des cardinalités montre alors que $AH=G$.

Donc c'est le cas avec l'exemple de AD car $A \cap H = 1$ (l'ordre de $A \cap H$ divise 8 et 3) et $o(A)o(H)=o(G)=24$.

Je vais essayer maintenant de comprendre les exos de Maxtimax.

Bonjour,
Voici un résumé de ce qui précède.

La définition du produit semi-direct de mon cours est la suivante (c'est la plus claire et la plus parlante que j'ai trouvée, ce qui me fait réagir).

Soit $G$ un groupe, $A$ et $H$ deux sous-groupes de $G$, et $A$ est distingué dans $G$. Alors on dit que $G$ est un produit semi-direct de $A$ par $H$ si l'application $A \times H \rightarrow G, (a,h) \mapsto ah$ est bijective. Notation : $G=A \rtimes H$.

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Alors $G=A \rtimes H \Leftrightarrow H $ est un système de représentants des classes d'équivalence de $G$ modulo $A \Leftrightarrow$ la restriction à $H$ de la projection canonique $G \rightarrow G/A$ induit un isomorphisme $H \rightarrow G/A$ (i.e. l'application $H \rightarrow G/A, h \mapsto Ah$ est bijective, puisque c'est un morphisme).

La 2ème équivalence est presque évidente. La 1ère se montre ainsi :

- dans le sens $\Rightarrow$ : on a $\forall ah \in AH=G, ah=h$ (mod $A$) ; et $A \cap H=1$, donc $\forall h,k \in H, h=k$ (mod $A$) $\Rightarrow h=k$, donc $H$ est un système de représentants des classes d'équivalence de $G$ modulo $A$,

- dans le sens $\Leftarrow$ : $\forall x \in G, \exists ! h \in H, \bar{x}=\bar{h}, \exists ! a \in A, xh^{-1}=a$, donc $\exists ! (a,h) \in A \times H, x=ah$, on peut donc définir l'application $G \rightarrow A \times H , ah \mapsto (a,h)$ et elle est bijective.

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Voilà, je vois mieux ainsi le lien entre produit semi-direct $A \rtimes H$, et $H=$ système de représentants des classes d'équivalence de $G$ modulo $A$.

Reste à faire le lien avec la section s : $G/A \rightarrow G$ de la projection p : $G \rightarrow G/A$.
Si on a un produit semi-direct $G=A \rtimes H$, on a la section d'après ce qui précède.
Maintenant, sans autre hypothèse sur $G$ que $A$ est distingué dans $G$, je crois que je vais remettre à plus tard.

Je continue. Par contre, s'il existe seulement une bijection : $A \times H \rightarrow G, (a,h) \mapsto ah$ mais qu'aucun des 2 sous-groupes n'est distingué dans $G$ (exempe d' AD), alors il existe quand même une bijection : $H \rightarrow cl(G/A)_d$ (ensemble des classes à droite de $G$ modulo $A$), $h \mapsto Ah$, mais ce n'est pas un morphisme (c'est un morphisme ssi $A$ est distingué dans $G$), et de toute façon, l'ensemble des classes à droite n'est pas un groupe ?

Pouvez-vous confirmer ? Merci d'avance.