Prolongnt vectoriel canonique d'un esp. aff.

Julia Paule
Julia Paule
dans Algèbre
Bonjour,
Je ne comprends pas la définition d'un prolongement vectoriel canonique d'un espace affine. La voici.
Soit donc $\cal{E}$ un espace affine de direction $E$ un espace vectoriel sur $K$. On peut attacher de façon canonique, à $\cal{E}$ un espace vectoriel $\hat{E}$ contenant $E$ comme hyperplan vectoriel et $\cal{E}$ comme hyperplan affine. Ensemblistement, $\hat{E}$ est la réunion disjointe de $E$ et de symboles $\lambda x$ où $\lambda \in K^{*}, x \in \cal{E}$.

Ce que je ne comprends déjà pas dans cette définition : $x$ est-il fixé dans $\cal{E}$, ou parcourt-il $\cal{E}$ ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Julia Paule
    Julia Paule
    Je penche pour le 2ème : $x$ parcourt $\cal {E}$. Cela revient à ajouter une dimension à $E$ ?

    Et est-ce $\cal {E}$ hyperplan affine de $E$ ou de $\hat{E}$ ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Oui il faut faire varier $x$ : comme tu dis on rajoute un dimension.

    $\mathcal E$ sera un hyperplan affine du nouvel espace $\hat E$ (il a la même dimension que $E$ !)
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Merci Maxtimax, je vais essayer de me débrouiller avec ça. C'est pour cela que je ne comprenais pas (je voyais $\mathcal E$ comme un hyperplan affine de $E$, espace affine sur lui-même, un peu n'importe quoi puisqu'ils ont la même dimension).

    En fait, je n'ai pas dans mon cours la définition d'un "sous-espace affine d'un espace vectoriel", seulement d'un "sous-espace affine d'un espace affine" (après avoir défini un espace affine comme un ensemble non vide, sur lequel un espace vectoriel agit de manière libre et transitive).
    Donc qu'est-ce qu'un sous-espace affine d'un espace vectoriel ?
  • gai requin
    gai requin
    Il y a quand même un problème de notation.
    On cherche le plus petit espace vectoriel contenant $\cal E$ qu'il est bien naturel de noter $\hat{\cal E}$ et pas $\hat E$ non ?
    Supposons que $\dim E=n\geq 1$.
    Dans tout repère affine de $\cal E$, l'équation de $\cal E$ vu comme hyperplan affine de $\hat{\cal E}$ est $x_1+\cdots+x_{n+1}=1$.
    On peut ensuite considérer $\mathbb P(\hat{\cal E})$ qu'on appelle le projectivisé de $\cal E$.
    D'après ce qui précède, l'hyperplan à l'infini a pour équation $X_1+\ldots+X_{n+1}=0$ en coordonnées homogènes.
    Original n'est-ce pas ?
  • Poirot
    Poirot
    Julia Paule a écrit:
    Donc qu'est-ce qu'un sous-espace affine d'un espace vectoriel ?

    Un espace vectoriel est un espace affine sur lui-même !
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Ok merci.

    @ Poirot oui évidemment, $\cal{E}$ est un hyperplan affine de $\hat{E}$ vu comme un espace affine sur lui-même, mais le cours devrait préciser il me semble que $\cal{E}$ est de direction $E$, donc il est parallèle à $E$ dans l'espace affine $\hat{E}$.
    En fixant $x$ dans $\cal {E}$, pour $\lambda=1$, on obtient $\cal{E}=x$+$E$. Pour $\lambda$ quelconque, on obtient $\lambda x$ + $E$, un hyperplan affine parallèle à $\cal{E}$ et à $E$, donc autant d'hyperplans parallèles dont la réunion finit par occuper tout l'espace affine $\hat{E}$, auquel on a fixé une origine (celle de $E$), cela en fait un espace vectoriel.
    Les $\lambda x$ sont à la fois des points et des vecteurs dans cette définition.

    C'est quand même un peu tordu.

    @Gai Requin : la convention de mon cours est d'adopter des lettres majuscules pour les espaces vectoriels, et des calligraphies pour les espaces affines. Cette notation respecte donc cette convention.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 22

AmadouChaurienDeGeerLirone93Lucasbiguine_equationpldx1stfjzygomathique +13 Invités