Différentielle de Kähler

C'est un peu vague, non ? :-D Enfin c'est compliqué de t'aider sans plus de détails sur ce que tu cherches à comprendre.

Je pense qu'un premier truc à prendre en considération c'est que dans la situation des formes de Kähler, l'anneau $R$ ne doit pas être vu comme $\mathbb C$ ou $\mathbb R$, mais comme $H(M)$ ou $C^\infty(M)$ voire $C^0(M)$ (l'anneau des fonctions holomorphes ou différentielles sur notre variété complexe ou réelle).
(tous mes anneaux sont commutatifs unitaires)

C'est dû par exemple au théorème de Serre-Swan qui nous dit qu'un fibré vectoriel sur notre variété c'est essentiellement pareil qu'un module projectif de type fini sur ledit anneau.

Prenons un exemple (je me place sur $\mathbb R$ et en différentiel parce que je comprends mieux ce monde que le monde holomorphe) : si j'ai une fonction $f: M\to \mathbb R$, j'obtiens $df$, que je peux voir comme une section du fibré cotangent $T^*M\to M$.

Ainsi, $d: C^\infty(M)\to \Gamma(T^*M,M)$. ça tombe bien, dans notre analogie entre anneaux et espaces, le fibré $E$ correspond au module des sections $\Gamma(E,M)$.

Donc la dérivation c'est un machin $d: R\to M$ où $R$ est notre anneau, $M$ un certain module sur $R$. On va demander, non pas que ce soit $R$-linéaire (est-ce que $d$ au-dessus est $C^\infty(M)$-linéaire ?) mais que ce soit $S$-linéaire, pour une certaine base $S$ (munie donc d'un morphisme $S\to R$ - ici, $S$ correspond à $\mathbb R$ dans la situation plus haut); et que $d$ vérifie la relation de Leibniz: $d(ab) = d(a)b+ a d(b)$, exactement comme dans le cas des fonctions plus haut.

ça te donne, pour une $S$-algèbre $R$ et un $R$-module $M$, un $R$-module $Der_S(R;M)$ de dérivations de $R$ à valeurs dans $M$.

Pour des raisons formelles (ou pas, on peut le prouver à la main, le construire de différentes manières), $M\mapsto Der_S(R,M)$ est représentable, c'est-à-dire qu'il existe un $R$-module $\Omega_{R/S}$ muni d'une dérivation universelle $d: R\to \Omega_{R/S}$ qui est telle que pour tout $R$-module $M$ et toute dérivation $\partial : R\to M$, il existe un unique morphisme $R$-linéaire $f:\Omega_{R/S}\to M$ tel que $f\circ d = \partial$ (dessine le diagramme).
On l'appelle "module des différentielles de Kähler". On peut le définir par générateurs et relation, mais il a aussi une description "plus explicite" en termes du noyau de $R\otimes_S R\to R$

(à noter que cela dépend, naturellement, beaucoup de $S$)

Le théorème de Serre-Swan s'énonce comme suit:

Soit $X$ un espace topologique compact Hausdorff, $C(X)$ l'anneau des fonctions continues sur $X$ à valeur dans $\mathbb R$. Alors $E\mapsto \Gamma(E,X)$ établit une équivalence de catégories entre les fibrés vectoriels de rang fini sur $X$ et les modules projectifs de type fini sur $C(X)$.

Ce théorème permet de mieux comprendre une partie de la géométrie algébrique; et aussi de faire le lien entre $K$-théorie topologique et $K$-théorie algébrique.

Il y a "évidemment" des variations de ce théorème, notamment une version différentielle:
Soit $X$ une variété différentielle, $C^\infty(X)$ l'anneau des fonctions $C^\infty$ sur $X$ à valeurs réelles. Alors le même énoncé reste vrai, où bien sûr on prend uniquement des fibrés vectoriels différentiels.

Il doit aussi y avoir une version holomorphe.
Cet article énonce visiblement un théorème plus général, qui a comme conséquences ces variations.

Il y a des généralisations qui affaiblissent les hypothèses (fibré localement trivial, module projectif) et permettent de donner des intuitions à la géométrie algébrique (qu'est-ce qu'un faisceau de modules quasi-cohérents en termes topologiques ?).

Oui tu devrais la lire, c'est une discussion très intéressante ! Ils y mentionnent, je crois, ledit théorème.