Matrice échelonnée
Bonsoir,
Démontrer que les lignes non nulles d'un matrice échelonnée forment un système libre.
Le début a été donné en indication dans le livre. Je veux montrer les points 1 et 2.
Notons $v_1, \cdots, v_n$ les vecteurs ligne de la matrice échelonnée.
Récurrence sur $n$ :
Pour $n=1$ c'est direct.
Supposons que $v_2, \cdots, v_n$ forment un système libre.
Alors $\dim Vect \{v_2, \cdots, v_n \} =n-1$ d'après l'hypothèse de récurrence. Il reste à montrer que :
1) $v_1 \notin Vect \{v_2, \cdots, v_n \}$,
2) $\dim Vect \{v_1,v_2, \cdots, v_n \}=n $.
Je voulais écrire la matrice échelonnée mais je ne vois pas comment faire, la matrice échelonnée n'a jamais la même forme.
Je sais faire sur des exemples mais dans le cas général :-S
Démontrer que les lignes non nulles d'un matrice échelonnée forment un système libre.
Le début a été donné en indication dans le livre. Je veux montrer les points 1 et 2.
Notons $v_1, \cdots, v_n$ les vecteurs ligne de la matrice échelonnée.
Récurrence sur $n$ :
Pour $n=1$ c'est direct.
Supposons que $v_2, \cdots, v_n$ forment un système libre.
Alors $\dim Vect \{v_2, \cdots, v_n \} =n-1$ d'après l'hypothèse de récurrence. Il reste à montrer que :
1) $v_1 \notin Vect \{v_2, \cdots, v_n \}$,
2) $\dim Vect \{v_1,v_2, \cdots, v_n \}=n $.
Je voulais écrire la matrice échelonnée mais je ne vois pas comment faire, la matrice échelonnée n'a jamais la même forme.
Je sais faire sur des exemples mais dans le cas général :-S
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Réponses
1) C'est la définition du système échelonné qui donne ce résultat : il suffit d'écrire cette définition. Fais-le !
2) Tu n'es même pas capable de recopier comme il faut ce que tu veux démontrer : ce que tu as écrit n'a aucun sens.
Pour moi le coefficient de la 2eme ligne devant y_2 peut être nul.
Pour ce qui est de ta question sur la forme échelonnée, il est précisé sur l'image que tu as partagée que les inconnues de ce système échelonné peuvent être dans un ordre différent de celui du système de départ.
Par exemple, le système $\left\{\begin{align} x+y&=1 \\ x \phantom{+m}&=1\end{align}\right.$ est échelonné à condition qu'on le récrive $\left\{\begin{align} y+x&=1 \\ \phantom{y+}x&=1\end{align}\right.$.
Si ça peut aider, voici une fiche que je distribuais à mes élèves et à mes colleurs.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
J'ai corrigé. Je voulais dire, et si on se trouve dans le cas
$\begin{cases}
x+y+z=1\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z = 1
\end{cases}$
On voit qu'on ne passe pas forcément du pivot $x$ au pivot $y$. On peut passer directement au pivot $z$, c'est ce qui complique les choses pour écrire la matrice échelonnée.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Chaurien ok merci la définition donnée dans votre lien est plus correcte et je suis d'accord avec cette dernière. Je vais essayer de démontrer le résultat que vous donnez.
Il est dit à une permutation près des coordonnées.
$\begin{cases}
x+z+y=0 \\
\phantom{m+}z\phantom{+m}=0.
\end{cases}$
Alain
Soit $(x_1, \cdots,x_p)$ une famille libre et $x_{p+1} \notin Vect \{x_1, \cdots,x_p \}$
Soient $(\lambda_1, \cdots, \lambda_p,\lambda_{p+1}) \in \R^{p+1}$ tel que $\displaystyle\sum_{i=1}^{p+1} \lambda_i x_i=0$
Donc $\lambda_{p+1} x_{p+1} = - \displaystyle\sum_{k=1}^p \lambda_k x_k$
1er cas :
Si $\lambda_{p+1}=0$ alors $ \displaystyle\sum_{k=1}^p \lambda_k x_k=0 \implies \forall k \in [|1,p|] \ \lambda_k=0$
2ème cas :
Si $\lambda_{p+1} \ne 0$ alors $x_{p+1} = \dfrac{-1}{\lambda_{p+1}} \displaystyle\sum_{k=1}^p \lambda_k x_k \in Vect \{x_1, \cdots,x_p \}$ ce qui est absurde.
Donc $\lambda_{p+1}=0$ et donc $\forall k \in [|1,p|] \ \lambda_k=0$.
Dans tous les cas, la famille $(x_i)_{1 \leq i \leq p+1}$ est libre.
Ainsi, $ \{v_1, \cdots, v_n \}$ est une famille libre à $n$ éléments. Ainsi, $\boxed{\dim Vect \{v_1, \cdots, v_n \} =n}$
@AD
Ok merci. Je n'avais pas fait attention à ce détail.