Ellipse

Bonjour à tous,

Je vais vous parler d'algèbre dans un contexte de statistiques. Mais question concernent uniquement les coniques, c'est pour ça que j'ai choisi cette section. Je le repète je suis venu en paix (parler de conique). Si je vous parle de stats vous avez le droit de dire mini_calli petit *i*i ::o.

Le but de ce post est de vous écrire un développement pour l'agreg externe sur les ellipsoïde de confiance. Et, si vous le voulez bien, avec vous de repérer et réparer éventuellement les fissures du développement pour être sur d'avoir quelque chose de solide.

Soit $\Sigma$ une matrice symétrique positive de taille $d$. Soit $X$ un vecteur aléatoire de loi $N(\beta, \Sigma)$.
Soit $M$ une matrice non nécessairement carré tel que $M^{t} M = \Sigma^{-1}$.
La loi de $M(X-\beta)$ est $N(0,I_{d})$ donc la loi $\| M(X-\beta) \|^{2}$ est une $\chi^{2}(n)$ avec $n$ tel que $M \in M_{n,d}(\mathbb{R})$.
Du coup c'est facile de trouver un $k$ pour que $\mathcal{E} = \{ x \in \mathbb{R}^{d} ; \| M(X-\beta) \|^{2} \le k \}$ contiennent 95% des points de mon échantillon. Bref ! Passons à l'algèbre X:-(

A présent mon but est de montrer que $\mathcal{E}$ est une ellipsoïde centré en $\beta$.

Définition d'une ellipsoïde : On appelle la boule unité d'une forme quadratique définie positive, une ellipsoïde centrée en $0$.

Puis je pose, par translation, la boule centré en $\beta$ de rayon $1$ d'une forme quadratique est une ellipsoïde centrée en $\beta$.

On a $\Sigma^{-1} = P^{t} D P$ avec $P$ orthogonale et $D$ diagonale.
$$
\| M(x-\beta) \|^{2} = \langle M(x-\beta), M(x-\beta) \rangle = (x-\beta)^{t} M^{t} M (x-\beta) = (x-\beta)^{t} \Sigma^{-1} (x-\beta) = (x-\beta)^{t} P^{t} D P (x-\beta)
$$
D'où $\boxed{ \| M(x-\beta) \|^{2} = (P(x-\beta))^{t} D P(x - \beta) } $.

On a
$$
P^{-1}u + \beta \in \mathcal{E} \Leftrightarrow \| MP^{-1}u \|^{2} \le k \Leftrightarrow u^{t} (P^{-1})^{t} M^{t} M P^{-1} u \le k \Leftrightarrow u^{t} D u \le k \Leftrightarrow Du.u \le k
$$
D'où $ \boxed{ P^{-1}u + \beta \in \mathcal{E} \Leftrightarrow Du.u \le k } $ et on a
$$
u \in (\mathcal{E} - \beta) \Leftrightarrow \frac{DPu}{k}.Pu \le 1 \Leftrightarrow \frac{\Sigma^{-1} u}{k}.u \le 1
$$
On en déduit que $(\mathcal{E} - \beta)$ est la boule unité d'une forme quadratique définie positive, c'est à dire une ellipsoïde centré en $0$. Au final $ \boxed{ \mathcal{E} \text{ est une ellipsoïde centrée en } \beta }$.

A présent je fixe $d = 2$ et je vais chercher à décrire l'ellipse obtenue.

Je cherche le demi grand axe et le demi petit axe et une une équation paramétrée.

Ca va si je défini le demi grand axe comme l'inverse de la plus grand valeur propre de $\Sigma^{-1}$ et le demi petit comme l'inverse de la plus petite ?
Peut être ce n'est pas possible, et y'a pas de souci, sachez que j'aimerais tout de même rester proche des formes quadratiques.

Programme a écrit:

Application des formes quadratiques à l’étude des coniques propres du plan affine euclidien (foyer,
excentricité) et des quadriques de l’espace affine euclidien de dimension trois.