Endomorphisme essentiellement réel

Non: si c'était le cas, son polynôme minimal serait aussi réel. Or on peut bien trouver un tel $a$ qui a un polynôme caractéristique réel, mais pas son polynôme minimal.

Par exemple, je prends $\mathbb C^2\oplus \mathbb C^2$ avec sur la première copie l'homothétie de rapport $i$, et sur la seconde copie, celle de rapport $-i$ + un nilpotent. Alors le polynôme caractéristique est $(X-i)^2(X+i)^2= (X^2+1)^2$ qui est bien à coefficients réels, mais son polynôme minimal est $(X-i)(X+i)^2= (X^2+1)(X+i)$ qui n'est pas à coefficients réels.