Idéal
Bonjour
J'ai un exercice de MP qui me pose problème. Voici l'énoncé.
Soit $A= C^0([0,1], R)$. Posons $I_x= \left\{f\in A ; f(x) = 0 \right\}$ pour $x$ dans $[0,1]$
1) Posons $I \subset A$ un idéal maximal. Montrer qu'il existe un $x$ dans $[0,1]$ tel que $I=I_x$ (un idéal maximal de A à montrer)(Indication: raisonnement par l'absurde)
i) Pour $f\in $ montrer que $\bigcap_{f\in I}{Z(f)}=\phi$ ($\phi$ = ensemble vide je ne trouve pas le signe) et $Z(f) = f^-1 (\left\{0 \right\})$
ii) Montrer que $\bigcap_{i=1}^{r}{Z(f_i)}=\phi $ (avec$ f_1 , ..., f_r \in I$)
iii) Utiliser $\sum_{i=1}^{r}{f_i^2}$ pour conclure
2) $I_x$ est-il engendré par $y |\rightarrow y-x$ ?
3) $I_x$ est-il fini ?
4) Démontrer que $F$ (ensemble des fonctions à support compact) est un idéal de $R= C^0(R,R)$. $F$ est-il premier ?
5) Montrer que I (idéal maximal de R tel que C \subset I) ne s'écrit pas comme $\left\{f \in R; f(x) = 0 \right\}$ ($x \in R$)
Où j'en suis dans l'exercice ?
Si je commence par les deux premières questions.
1) J'ai réussi à montrer que $I_x$ est un idéal maximal de $A$.
i) J'arrive à le comprendre mais je n'arrive pas à le montrer rigoureusement. En effet, $\bigcap_{f\in I}{Z(f)} = \bigcap_{f\in I}{f^{-1}(\left\{0 \right\})}$ mais après je n'arrive pas à en "tirer" quelque chose rigoureusement.
ii) Comme $[0, 1]$ est compact, on peut extraire de ce recouvrement un recouvrement fini de $[0, 1]$ et donc on a bien $\bigcap_{i=1}^{r}{Z(f_i)}=\phi $ (avec$ f_1 , \ldots, f_r \in I$)
iii) D'après 1.ii), on a que chaque $f^2x_i$ est dans $I$ (car $I$ est un idéal et $f_i$ est dans $I$), et la fonction $\sum_{i=1}^{r}{f_i^2}$ ne s’annule pas sur $[0, 1]$ donc $f_i$ est inversible. Et je n'arrive pas là à conclure par l'absurde.
2) J'ai l'intuition que c'est faux mais encore une fois je bloque sur la rédaction mathématique ...
Je vous remercie,
Bonne soirée
Bien cordialement
J'ai un exercice de MP qui me pose problème. Voici l'énoncé.
Soit $A= C^0([0,1], R)$. Posons $I_x= \left\{f\in A ; f(x) = 0 \right\}$ pour $x$ dans $[0,1]$
1) Posons $I \subset A$ un idéal maximal. Montrer qu'il existe un $x$ dans $[0,1]$ tel que $I=I_x$ (un idéal maximal de A à montrer)(Indication: raisonnement par l'absurde)
i) Pour $f\in $ montrer que $\bigcap_{f\in I}{Z(f)}=\phi$ ($\phi$ = ensemble vide je ne trouve pas le signe) et $Z(f) = f^-1 (\left\{0 \right\})$
ii) Montrer que $\bigcap_{i=1}^{r}{Z(f_i)}=\phi $ (avec$ f_1 , ..., f_r \in I$)
iii) Utiliser $\sum_{i=1}^{r}{f_i^2}$ pour conclure
2) $I_x$ est-il engendré par $y |\rightarrow y-x$ ?
3) $I_x$ est-il fini ?
4) Démontrer que $F$ (ensemble des fonctions à support compact) est un idéal de $R= C^0(R,R)$. $F$ est-il premier ?
5) Montrer que I (idéal maximal de R tel que C \subset I) ne s'écrit pas comme $\left\{f \in R; f(x) = 0 \right\}$ ($x \in R$)
Où j'en suis dans l'exercice ?
Si je commence par les deux premières questions.
1) J'ai réussi à montrer que $I_x$ est un idéal maximal de $A$.
i) J'arrive à le comprendre mais je n'arrive pas à le montrer rigoureusement. En effet, $\bigcap_{f\in I}{Z(f)} = \bigcap_{f\in I}{f^{-1}(\left\{0 \right\})}$ mais après je n'arrive pas à en "tirer" quelque chose rigoureusement.
ii) Comme $[0, 1]$ est compact, on peut extraire de ce recouvrement un recouvrement fini de $[0, 1]$ et donc on a bien $\bigcap_{i=1}^{r}{Z(f_i)}=\phi $ (avec$ f_1 , \ldots, f_r \in I$)
iii) D'après 1.ii), on a que chaque $f^2x_i$ est dans $I$ (car $I$ est un idéal et $f_i$ est dans $I$), et la fonction $\sum_{i=1}^{r}{f_i^2}$ ne s’annule pas sur $[0, 1]$ donc $f_i$ est inversible. Et je n'arrive pas là à conclure par l'absurde.
2) J'ai l'intuition que c'est faux mais encore une fois je bloque sur la rédaction mathématique ...
Je vous remercie,
Bonne soirée
Bien cordialement
Réponses
-
i) Un point de cette intersection te donnerait un $x$. Peux-tu alors montrer que $I\subset I_x$ ?
iii) Connais-tu beaucoup d'idéaux qui contiennent des inversibles ?
2) Tu peux chercher des exemples, par exemple $y\mapsto |y-x|$ -
i) Je ne comprends pas votre indication. On sait que $I$ et $I_x$ sont des idéaux maximaux de $A$
iii) Effectivement on a donc que $I=A$ donc c'est absurde car I est un idéal maximal par hypothèse !
2) Si je reprends la définition d'un idéal engendré :
Soit $I_x$ une partie de $A$. L'idéal engendré par $y \rightarrow |y-x|$ est $\left\{\sum_{i=1}^{n}{f_ix_i, f_1,...,f_n \in A, x_1,...,x_n \in I_x} \right\}$ mais après je ne sais pas quoi remplacer. -
i) C'est exactement ça qui va se passer : si l'intersection n'est pas vide et contient $x$, alors $I\subset I_x$. Par maximalité de $I$ ...
2) Non ce que je voulais dire c'est que $y\mapsto |y-x|$ n'est pas dans l'idéal engendré par $y\mapsto (y-x)$ -
i) Mais on essaye de le montrer par l'absurde donc pour tout $x$ dans $[0,1]$, on a que $I$ n'est pas inclus dans $I_x$
Quand vous dites "Un point de cette intersection te donnerait un x". C'est parce qu'on suppose que $I$ n'est pas inclus dans $I_x$, cela signifie que pour tout point $x \in [0,1]$ il existe une fonction f qui ne s'annule pas en x ? Mais je n'arrive pas à faire le lien avec $Z(f)= f^{-1}(\left\{0 \right\}) $ et $\bigcap_{f \in I}{Z(f)}$
Mais je suis d'accord si l'intersection n'est pas vide et contient $x$, alors $I \subset I_x$. Par maximalité de $I$ on aura alors $I=I_x$
2) Je n'arrive pas à comprendre ce que c'est que le $y$ et donc je comprends pas bien comment faire -
i) "Mais je suis d'accord si l'intersection n'est pas vide et contient $x$, alors $I\subset I_x$. Par maximalité de $I$ on aura alors $I=I_x$"
Si tu es d'accord là dessus, et que tu es d'accord qu'on suppose $I\neq I_x$, c'est bien que l'intersection est vide :-S
2) $A$ est un anneau de fonctions. $y\mapsto (y-x)$ est une de ces fonctions, donc un élément de $A$; on te demande s'il engendre $I_x$. $y\mapsto |y-x|$ est un autre tel élément, qui est dans $I_x$. Je te suggère de montrer qu'il n'est pas dans l'idéal engendré par le premier. -
i) Le problème c'est que je n'arrive pas à comprendre ce que c'est $Z(f)$ pour l'intégrer dans une rédaction rigoureuse. Mais si j'essaye de rédiger :
Supposons que pour tout $x$ dans $[0,1]$, $I$ pas inclus dans $I_x$
Cela signifie que pour tout point $x\in [0,1]$ il existe une fonction (est-ce $Z(f)= f^{-1}(\left\{0 \right\}) $ ? ) qui ne s'annule pas en $x$.
De plus, si l'intersection $\bigcap_{f \in I}{Z(f)}$ n'est pas vide et contient $x$ alors $I \subset I_x$ et par maximalité de $I$ on aurait $I=I_x$
Or $I$ pas inclus dans $I_x$ donc $I \neq I_x$
Donc l'intersection $\bigcap_{f \in I}{Z(f)} = \oslash $
2) D'accord, je vois mieux ce qu'on me demande mais je n'ai aucune idée de comment il faut procéder. Même avec votre indication je n'arrive pas à commencer. Je "vois" que $y \rightarrow y-x$ n'est pas dans l'idéal engendré par $y \rightarrow y-x$ parce qu'il n'y aura pas les valeurs négatives mais je n'arrive pas à le montrer rigoureusement. -
i) Bah $Z(f)$ est l'ensemble des points en lesquels $f$ s'annule, c'est la définition de $f^{-1}(\{0\})$ ! Donc si $f$ ne s'annule pas en $x$, $x\notin Z(f)$.
2) Si $y\mapsto |y-x|$ est dans l'idéal engendré par $y\mapsto (y-x)$, il y aurait une fonction continue $g$ telle que pour tout $y$, $g(y)(y-x) = |y-x|$, i.e. $g(y)= $ le signe de $(y-x)$, sauf éventuellement en $x$. Est-ce que $g$ peut être continue ? -
Tu mélanges un peu tout.
Soit $I$ un idéal maximal de $A$. Supposons de plus que pour tout $x$ dans $[0,1]$, $I\neq I_x$.
Si $\bigcap_{f\in I} Z(f)$ n'est pas vide et contient le réel $y$ alors par définition, cela signifie que $\forall f\in I, f(y)=0$ ou encore que $\forall f \in I, f\in I_y$ donc $I\subset I_y$.
Or $I_y$ est un idéal de $A$ et $I$ est maximal parmi les idéaux de $A$ donc $I=I_y$, ce qui contredit l'hypothèse de départ. Donc $\bigcap_{f\in I} Z(f)=\emptyset$.
Je te laisse poursuivre. -
i) Oui c'est bon j'ai compris $Z(f)$ merci ! En fait dans ma tête je mélangeais le f et le x parce que je n'ai pas l'habitude de travailler sur des anneaux de fonctions.
Quand vous dites $" I=I_y"$ . On peut remplacer "contient le réel y" par "contient le réel x" ?
2) Je ne le voyais pas du tout comme ça. Mais g ne peut pas être continue
Donc $y \rightarrow \left|y-x \right| $ n'est pas dans l'idéal $I_x$ engendré par $ y \rightarrow y-x$
Donc peut impliquer que $I_x$ n'est pas engendré par $ y \rightarrow y-x$. -
Oui, tu peux renommer mon réel $y$ en $x$ ou en $tartampion$ si ça t'amuse. Étant donné qu'il est quantifié (implicitement, ici), c'est une variable muette.
-
D'accord, merci c'est ce qui me semblait mais je préférais être fixé.
2) Si je reprends cette question :
A est un anneau de fonctions. $y \rightarrow (y-x)$ est une de ces fonctions, donc un élément de A.
Montrons que $I_x$ n'est pas engendré par $y \rightarrow (y-x)$.
Soit $y \rightarrow |y-x|$ un autre élément qui est dans $I_x$
Or, si $y \rightarrow |y-x|$ est dans l'idéal engendré par $y \rightarrow (y-x)$, il y aurait une fonction continue $g$ telle que pour tout $y, g(y)(y-x)=|y-x|$, i.e. $g(y)=$ le signe de $(y-x)$, sauf éventuellement en $x$.
Mais une fonction g définie telle qu'elle ne peut pas être continue.
Donc $y \rightarrow |y-x|$ n'est pas dans l'idéal $I_x$ engendré par$ y \rightarrow y-x$
Donc cela implique que $I_x$ n'est pas engendré par $y \rightarrow y-x$.
3) On se demande si $I_x$ est de type fini . Autrement dit, si $I_x$ peut être engendré par une partie finie.
Donc si je trouve pas de partie finie qui engendre $I_x$ alors $I_x$ n'est pas de type fini.
Mais comme on l'a vu dans la question 2) même si $I_x$ avait été engendré par $y \rightarrow y-x $, $I_x$ n'aurait pas été de type fini vu que $y \rightarrow y-x $ n'est pas une partie finie -
"si je ne trouve pas" : bah non, il faut prouver qu'il n'y en a pas, pas simplement ne pas réussir à en trouver !
De plus, $\{y\mapsto y-x\}$ est bien une partie finie de $I_x$ (c'est une partie, et elle a un seul élément)
Pour cette question, il te faut supposer que $f_1,...,f_n$ engendrent $I_x$ et obtenir une contradiction (ou, si tu penses que $I_x$ est finiment engendré, trouver des $f_1,...,f_n$ qui l'engendrent) -
2)i) Je suppose que c'était bon
3) Oui voilà je me suis mal exprimé mais c'est ce que je voulais dire !
Et oui c'est vrai que c'est une partie à un élément donc finie
Si je suppose alors que $f_1,\ldots, f_n$ engendrent $I_x$ alors $<f_i>\, = I_x$ avec $i$ compris entre $1$ et $n.$
Donc $I_x = \left\{\sum_{i}{a_if_i \mid a_i \in I_x,\ f_i\in \left\{f_1,\ldots,f_n \right\}} \right\}$
Et il faut que j'arrive à une contradiction. -
supp
-
Bonsoir
Je ne comprends pas comment on peut dire que $f(t) \sim \sum_{i\in I_{fini}}{ f_i(t) g_i(t)}$. Cela veut dire qu'une fonction dans l'anneau $A$ est équivalente à $\sum_{i\in I_{fini}}{ f_i(t) g_i(t)}$ ?
Après pour les explications qui suivent, je pense avoir compris même s'il y a des notions que je ne maîtrise pas trop. -
supp
-
Justement c'est pour cela que j'essaye de m'exercer. Et oui vous avez raison tout n'est pas clarifié autrement je n'aurai pas demandé d'aide sur le forum.
Dans mon cours, la définition d'un idéal engendré est donné tel quel :
Soit $X$ une partie de $A$. L'idéal engendré par $X$ est l'ensemble des combinaisons $A$-linéaires d'éléments de $X$ :
$\left\{\sum_{i=1}^{n}{a_ix_i},\ n \in \N,\ a_1,\ldots,a_n \in A ,\ x_1,\ldots,x_n \in X\right\}.$
Si je reprends, on m'a conseillé de montrer que $f_1,\ldots,f_n$ engendre $I_x$. Donc si j'établis "le parallèle" avec ma définition ci-dessus :
$X=I_x$ et $A= A$.
D'où, $\left\{\sum_{i=1}^{n}{f_ig_i},\ n \in \N,\ g_1,\ldots,g_n \in A ,\ f_1,\ldots,f_n \in I_x\right\}.$
Après oui c'est une notion encore que j'ai du mal à manipuler surtout que c'est le premier exercice sur les anneaux de fonctions et je mélange un peu tout ...
Mais je remercie tout le monde qui m'aide !
Edit du 21/10
J'ai réfléchis pour la 4.
4) J'avais pensé à montrer que l'ensemble $F$ des fonctions à support compact est un inclus dans un idéal maximal avec le théorème de Zorn.
Mais je n'arrive pas à montrer que $F=C^0(R,R)$ est inductif -
Bonjour
Je m'excuse pour le double poste mais je voulais partager mon travail et mes recherches.
3) Après avoir revu les notions, j'ai compris.
4) Je veux montrer les axiomes de l'idéal.
Le support d'une fonction f est l'ensemble $\left\{x \in R; f(x) \neq 0 \right\}$ et f est à support compact si son support défini comme précédemment est compact.
Montrons alors F (l'ensemble des fonctions à support compact) est un sous-groupe de $C^0(R,R)$,
i) on a $F \neq \oslash$, car si f=1 alors $\left\{x \in R\mid f(x) \neq 0 \right\} = [0,1]$ qui est bien compact ;
ii) montrons que pour tout $f,g \in F,\ f-g \in F.$
Soient $f\in F$ alors $ f(x) \neq 0$ et $g \in F$ alors $ g(x) \neq 0,$
donc $f(x)-g(x) \neq 0$, donc $f,g \in F,\ f-g \in F$ ($F$ est bien un sous-groupe).
Montrons que pour tout $f\in A$, pour tout $g\in F ,\ fg \in F$.
Soit $g\in F$ alors $g(x) \neq 0$, donc $f(x)g(x)$, $f\in A$ donc $fg \in F$
Donc $F$ est un idéal de $C^0(R,R)$.
Montrons maintenant que $F$ n'est pas premier.
$F$ est premier si pour tout $(a,b) \in A^2,\ ab\in F \Rightarrow a \in F$ ou $b \in F$.
Je ne sais pas comment m'en sortir.
5) $I$ n'est pas $\left\{f \in R\mid f(x)=0 \right\},$ avec $ x \in R$.
En effet, tout point on peux trouver une fonction continue à support compact qui ne s’annule pas.
N'hésitez pas à me corriger s'il y a des erreurs !
Bien cordialement. -
Le support d'une fonction $f$ n'est pas $\left\{x \in \R; f(x) \neq 0 \right\}$ mais l'adhérence de ceci : $\overline{\left\{x \in \R; f(x) \neq 0 \right\}}$.
Ton 4i) est faux car tu oublies que ta fonction est définie sur $\R$ entier et pas sur $[0,1]$.
Ton 4ii) est faux aussi mais là il y a une erreur de rédaction mathématique : on ne sait pas qui est $x$. Tu dois montrer que $\overline{\left\{x \in \R; f(x)-g(x) \neq 0 \right\}}$ est compact.
Ensuite c'est qui $A$ ? En lisant ton énoncé ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2111836,2111836#msg-2111836 on dirait que ton $A$ n'intervient pas dans la question 4.
Je n'ai pas lu le reste. -
Oui effectivement vous avez raison !
4i) Mais on peut dire : $F \neq \emptyset $ par définition de $F$.
4ii) Oui pardon au lieu de $A$ je voulais mettre $C^0[0,1]$.
Il faut que je montre que $\overline{\left\{x \in \R\mid f(x)-g(x) \neq 0 \right\}} $ est fermé (Je n'arrive pas à mettre la barre sur tout l'ensemble),
et que $\overline{\left\{x \in \R\mid f(x)-g(x) \neq 0 \right\}} $ est borné. Mais je n'ai aucune idée comment le montrer si quelqu'un peut me l'expliquer en rédigeant.
Et donc $\overline{\left\{x \in \R\mid f(x)-g(x) \neq 0 \right\}} $ est compact.
Donc $F$ est un sous-groupe de $C^0[0,1]$.
Et ensuite il faudra que je montre que pour tout $ f \in C^0[0,1]$, pour tout $g \in F$ $\overline{\left\{x \in \R\mid f(x)g(x) \neq 0 \right\}}$ est compact (avec $x \in \R$).
Edit: J'ai réussi à montrer que F n'est pas premier. -
Pour la 4i) ce n'est pas par définition de $F$. Si tu veux montrer que $F$ est un idéal tu dois commencer par montrer qu'il contient au moins un élément. Est-ce que tu arrives à exhiber une fonction de $\R$ dans $\R$ à support compact ?
Pour la 4ii) est-ce que tu connais la définition d'adhérence ? -
Bonjour,
Après deux jours de réflexion j'ai réussi. En effet , j'étais mal parti !
Je remercie toutes les personnes !
Bien cordialement
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