Présentation d'un groupe fini
dans Algèbre
Bonsoir à tous,
Comment montrer que tout groupe fini a une présentation finie ?
Merci d'avance.
Comment montrer que tout groupe fini a une présentation finie ?
Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Alors, $ G = F(S) / N $, avec, $ F(S) $ est le groupe libre de partie génératrice $ S $, et $ N = \langle \langle R \rangle \rangle $ est le sous groupe normal des relations, engendré par $ R \subset L(S) $ ?
Pourquoi, $ S $ et $ R $ sont finis ?
Merci d'avance.
Edit,
Si $ G $ est fini, alors, $ F(S) $ et $ N $ sont finis, c'est à dire, $ S $ et $ R $ sont finies. C'est ça ?
Merci d'avance.
Alors, si je suis tes consignes Seirios, on note, $ [g_i , g_j] = g_i g_jg_i^{-1} g_{j}^{-1} $ le commutateur de $ g_i $ et $ g_j $, pour tout $ g_i , g_j \in G $.
Est ce que, $ G = \langle G \ | \ [g_i,g_j] = \delta_{ij} , \ , \forall g_j , g_j \in G \rangle = F(G) / \langle [g_i,g_j] \ , \ \forall g_j , g_j \in G \rangle $ ? Si oui, comment le démontrer ?
Qu'est-ce que la relation $[g_1,g_2]=0$ pourrait bien vouloir dire ? À la limite, je peux comprendre $[g_1,g_1]=1$ mais que viennent faire ici les commutateurs ? Quel rapport avec ce qu'a proposé Seirios ?
On pourra aussi apprécier, plus haut, la finitude de $F(S)$, fausse dès que $S$ n'est pas vide.
Pardon.
Suivant l'idée de Seirios d'utiliser la table de multiplication de $ G $, j'ai vite cru que, pour tout $ g_i , g_j \in G $ , $ g_i g_j = g_j g_i $. Mais, ce n'est pas ça.
Comment, alors, calculer la table de multiplication de $ G $ ?
Merci d'avance.
Edit, : Croisement avec le message de Seirios. :-)
J’ai beau ne pas avoir étudié le principe des présentations, je vois que tu n’as pas l’air d’en proposer une.
Il te faut un ou des générateurs ainsi que les relations entre tes générateurs. Je ne vois pas de relations, à peine les générateurs.
Tu peux très bien prendre comme générateurs tous les éléments de ton groupe et comme relations tous les résultats des opérations entre deux générateurs.
Fais-le sur un groupe tout bête comme le groupe à trois éléments.
-- Schnoebelen, Philippe
Pour préciser, la table de multiplication d'un groupe évoquée plus haut est ce qui donne, à partir de deux éléments d'un groupe, le résultat de leur produit. (Ce qui est également ce que conseille de regarder nicolas.patrois.)
@nicolas.patrois : Pour information, les notations $\langle a,b \mid [a,b]=1 \rangle$ et $\langle a,b \mid [a,b] \rangle$ sont toutes les deux standards, le symbole d'égalité n'est pas obligatoire.
Soit $ G $ un groupe fini d'éléments, $ g_1 , \dots , g_n $.
Si je suis l'idée de Nicolas, l'ensemble des relations $ R $ est $ R = \{ g_i . g_j . g_{k}^{-1} = 1 \ | \ i,j,k, = 1 , \dots , n \ \} $. C'est ça ?
Si tu as du mal avec le cas général, tu devrais suivre le conseil donné par nicolas.patrois plus haut : prends un exemple explicite, comme un groupe d'ordre trois ou quatre.
Alors, je suis le conseil de Nicolas.
Soit $ G = \{ e, g_1 , g_2 , g_3 \} $.
Les relations possibles sont,
Si $ g_1 g_1 = g_1 $, alors, $ g_1 = e $. Faux
Si $ g_1 g_1 = g_2 $. C'est valable.
Si $ g_1 g_1 = g_3 $. C'est valable.
Si $ g_1 g_2 = g_1 $, alors, $ g_2 = e $. Faux.
Si $ g_1 g_2 = g_2 $, alors, $ g_1 = e $. Faux.
Si $ g_1 g_2 = g_3 $. C'est valable.
Si $ g_1 g_3 = g_1 $, alors, $ g_3 = e $. Faux.
Si $ g_1 g_3 = g_2 $. C'est valable.
Si $ g_1 g_3 = g_3 $, alors, $ g_1 = e $. Faux.
Si $ g_2 g_1 = g_1 $, alors, $ g_2 = e $. Faux.
Si $ g_2 g_1 = g_2 $, alors, $ g_1 = e $. Faux.
Si $ g_2 g_1 = g_3 $. C'est valable.
Si $ g_2 g_2 = g_1 $, alors, $ g_2 = e $. C'est valable.
Si $ g_2 g_2 = g_2 $, alors, $ g_2 = e $. Faux
Si $ g_2 g_2 = g_3 $. C'est valable.
Si $ g_2 g_3 = g_1 $. C'est valable.
Si $ g_2 g_3 = g_2 $, alors, $ g_3 = e $. Faux
Si $ g_2 g_3 = g_3 $, alors, $ g_2 = e $. Faux.
Si $ g_3 g_1 = g_1 $, alors, $ g_3 = e $. Faux.
Si $ g_3 g_1 = g_2 $. C'est valable.
Si $ g_3 g_1 = g_3 $, alors, $ g_1 = e $. Faux.
Si $ g_3 g_2 = g_1 $. C'est valable.
Si $ g_3 g_2 = g_2 $, alors, $ g_3 = e $. Faux.
Si $ g_3 g_2 = g_3 $, alors, $ g_2 = e $. Faux
Si $ g_3 g_3 = g_1 $. C'est valable.
Si $ g_3 g_3 = g_2 $. C'est valable.
Si $ g_3 g_3 = g_3 $, alors, $ g_3 = e $. Faux
Donc, $ R = \{ g_1 g_1 = g_2 , g_1 g_1 = g_3 , g_1 g_2 = g_3 , g_1 g_3 = g_2 , g_2 g_1 = g_3 , g_2 g_2 \\
\quad = g_3 , g_2 g_3 = g_1 , g_3 g_1 = g_2 , g_3 g_2 = g_1 , g_3 g_3 = g_1 , g_3 g_3 = g_2 \ \} $.
Non ?
Si c'est correct, comment généraliser, à $ n $ avec, $ G = \{ g_1 , \dots , g_n \ \} $ ?.
Merci d'avance.
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
@Seirios,
Il existe, $ 4! = 24 $ bijection entre, $ \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} $ et $ \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $. Lesquelles sont des homomorphismes ?
Merci d'avance.
On te demande de choisir un groupe que tu connais et d'en faire une présentation. Apparemment, ce point-là pose problème : tu ne sembles pas connaître de groupe.
Seirios et nicolas.patrois te disent depuis le début qu'il suffit de prendre tous les éléments du groupe comme générateurs et la table de multiplication comme ensemble de relations... et tu n'arrives pas à l'écrire.
On te dit de le faire avec le groupe à 3 éléments (pour lequel il n'y a aucune ambiguïté possible puisqu'il n'y en a qu'un) et tu choisis d'étudier un groupe à 4 éléments.
Avec le groupe à 3 éléments $\{e,a,b\}$, tu dois donc écrire $3\times 3=9$ relations entre ces éléments pour obtenir la table de "multiplication" de ce groupe.
Avec le groupe à 4 éléments $\{e,a,b\}$, tu dois écrire $4\times 4=16$ relations entre ces éléments pour obtenir la table de "multiplication" de ce groupe.
Mais on ne te demande pas de le faire au hasard ni de trouver toutes les possibilités ! On te demande de présenter un groupe que tu connais !
Ah oui, ça ne rate jamais ; on lui a déjà dit (:P) (on = Raoul + Max + moi + peut-être d'autres).
Pour le cas général, c'est à dire, lorsque, $ |G| = n > 3 $, comment faire pour montrer que $ G $ est de présentation finie, en suivant ce qu'a dit Seirios au début de la discussion ?
Merci d'avance.
$ n^2 $ est évidemment le nombre de cases dans la table de multiplication de $ G $.
Merci en tous cas.
Je n'arrive pas à me débarrasser de la flemme afin de te rédiger soigneusement une réponse ici. Excuse moi de t'informer que je ne vais pas te l'écrire. :-)
Cordialement.