Présentation d'un groupe fini
dans Algèbre
Bonsoir à tous,
Comment montrer que tout groupe fini a une présentation finie ?
Merci d'avance.
Comment montrer que tout groupe fini a une présentation finie ?
Merci d'avance.
Réponses
-
Soit $ G $ un groupe fini.
Alors, $ G = F(S) / N $, avec, $ F(S) $ est le groupe libre de partie génératrice $ S $, et $ N = \langle \langle R \rangle \rangle $ est le sous groupe normal des relations, engendré par $ R \subset L(S) $ ?
Pourquoi, $ S $ et $ R $ sont finis ?
Merci d'avance.
Edit,
Si $ G $ est fini, alors, $ F(S) $ et $ N $ sont finis, c'est à dire, $ S $ et $ R $ sont finies. C'est ça ?
Merci d'avance. -
Comme $G$ est fini, tu peux construire une présentation finie de $G$ en prenant $G$ comme partie génératrice et en prenant la table de multiplication comme ensemble de relations. Je te laisse écrire les détails, c'est un bon exercice si tu veux te familiariser avec les présentations de groupe.
-
Merci Seirios. :-)
Alors, si je suis tes consignes Seirios, on note, $ [g_i , g_j] = g_i g_jg_i^{-1} g_{j}^{-1} $ le commutateur de $ g_i $ et $ g_j $, pour tout $ g_i , g_j \in G $.
Est ce que, $ G = \langle G \ | \ [g_i,g_j] = \delta_{ij} , \ , \forall g_j , g_j \in G \rangle = F(G) / \langle [g_i,g_j] \ , \ \forall g_j , g_j \in G \rangle $ ? Si oui, comment le démontrer ? -
C'est absolument n'importe quoi. Pourquoi ne suis-je pas surpris ?
Qu'est-ce que la relation $[g_1,g_2]=0$ pourrait bien vouloir dire ? À la limite, je peux comprendre $[g_1,g_1]=1$ mais que viennent faire ici les commutateurs ? Quel rapport avec ce qu'a proposé Seirios ?
On pourra aussi apprécier, plus haut, la finitude de $F(S)$, fausse dès que $S$ n'est pas vide. -
Oui, je voulais noter $ [g_i , g_j ] = 1 $, au lieu de $ [g_i , g_j ] = \delta_{ij} $. :-)
Pardon. -
Tu remarqueras que ta présentation correspond toujours à un groupe abélien...
-
Pardon. Une autre erreur dûe à mon étourdissement :
Suivant l'idée de Seirios d'utiliser la table de multiplication de $ G $, j'ai vite cru que, pour tout $ g_i , g_j \in G $ , $ g_i g_j = g_j g_i $. Mais, ce n'est pas ça.
Comment, alors, calculer la table de multiplication de $ G $ ?
Merci d'avance.
Edit, : Croisement avec le message de Seirios. :-) -
$ G = \langle G \ | \ g_i g_j g_{j}^{-1} g_{i}^{-1} , \ , \forall g_j , g_j \in G \rangle = F(G) / \langle g_i g_j g_{j}^{-1} g_{i}^{-1} \ , \ \forall g_j , g_j \in G \rangle $. Non ?
-
Je ne comprends pas.
J’ai beau ne pas avoir étudié le principe des présentations, je vois que tu n’as pas l’air d’en proposer une.
Il te faut un ou des générateurs ainsi que les relations entre tes générateurs. Je ne vois pas de relations, à peine les générateurs.
Tu peux très bien prendre comme générateurs tous les éléments de ton groupe et comme relations tous les résultats des opérations entre deux générateurs.
Fais-le sur un groupe tout bête comme le groupe à trois éléments.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
@Pablo, les relations de ta présentation sont sans intérêt puisqu'elles sont conséquences de la structure de groupe.
Pour préciser, la table de multiplication d'un groupe évoquée plus haut est ce qui donne, à partir de deux éléments d'un groupe, le résultat de leur produit. (Ce qui est également ce que conseille de regarder nicolas.patrois.)
@nicolas.patrois : Pour information, les notations $\langle a,b \mid [a,b]=1 \rangle$ et $\langle a,b \mid [a,b] \rangle$ sont toutes les deux standards, le symbole d'égalité n'est pas obligatoire. -
Merci Seirios et Nicolas.
Soit $ G $ un groupe fini d'éléments, $ g_1 , \dots , g_n $.
Si je suis l'idée de Nicolas, l'ensemble des relations $ R $ est $ R = \{ g_i . g_j . g_{k}^{-1} = 1 \ | \ i,j,k, = 1 , \dots , n \ \} $. C'est ça ? -
Tu as trop de relations : avec celles-ci deux éléments de ton groupe vont toujours être identiques...
-
Merci Seirios, mais je ne sais pas encore quelles sont les relations à éliminer. J'ai réfléchi un petit peu sans comprendre ce qu'il faut faire.
-
Pour obtenir une présentation d'un groupe, encore faut-il que les relations utilisées soient vérifiées par les générateurs. À ton avis, les égalités que tu as écrites sont-elles toutes vérifiées dans $G$ ?
Si tu as du mal avec le cas général, tu devrais suivre le conseil donné par nicolas.patrois plus haut : prends un exemple explicite, comme un groupe d'ordre trois ou quatre. -
Merci Seiriosh.
Alors, je suis le conseil de Nicolas.
Soit $ G = \{ e, g_1 , g_2 , g_3 \} $.
Les relations possibles sont,
Si $ g_1 g_1 = g_1 $, alors, $ g_1 = e $. Faux
Si $ g_1 g_1 = g_2 $. C'est valable.
Si $ g_1 g_1 = g_3 $. C'est valable.
Si $ g_1 g_2 = g_1 $, alors, $ g_2 = e $. Faux.
Si $ g_1 g_2 = g_2 $, alors, $ g_1 = e $. Faux.
Si $ g_1 g_2 = g_3 $. C'est valable.
Si $ g_1 g_3 = g_1 $, alors, $ g_3 = e $. Faux.
Si $ g_1 g_3 = g_2 $. C'est valable.
Si $ g_1 g_3 = g_3 $, alors, $ g_1 = e $. Faux.
Si $ g_2 g_1 = g_1 $, alors, $ g_2 = e $. Faux.
Si $ g_2 g_1 = g_2 $, alors, $ g_1 = e $. Faux.
Si $ g_2 g_1 = g_3 $. C'est valable.
Si $ g_2 g_2 = g_1 $, alors, $ g_2 = e $. C'est valable.
Si $ g_2 g_2 = g_2 $, alors, $ g_2 = e $. Faux
Si $ g_2 g_2 = g_3 $. C'est valable.
Si $ g_2 g_3 = g_1 $. C'est valable.
Si $ g_2 g_3 = g_2 $, alors, $ g_3 = e $. Faux
Si $ g_2 g_3 = g_3 $, alors, $ g_2 = e $. Faux.
Si $ g_3 g_1 = g_1 $, alors, $ g_3 = e $. Faux.
Si $ g_3 g_1 = g_2 $. C'est valable.
Si $ g_3 g_1 = g_3 $, alors, $ g_1 = e $. Faux.
Si $ g_3 g_2 = g_1 $. C'est valable.
Si $ g_3 g_2 = g_2 $, alors, $ g_3 = e $. Faux.
Si $ g_3 g_2 = g_3 $, alors, $ g_2 = e $. Faux
Si $ g_3 g_3 = g_1 $. C'est valable.
Si $ g_3 g_3 = g_2 $. C'est valable.
Si $ g_3 g_3 = g_3 $, alors, $ g_3 = e $. Faux
Donc, $ R = \{ g_1 g_1 = g_2 , g_1 g_1 = g_3 , g_1 g_2 = g_3 , g_1 g_3 = g_2 , g_2 g_1 = g_3 , g_2 g_2 \\
\quad = g_3 , g_2 g_3 = g_1 , g_3 g_1 = g_2 , g_3 g_2 = g_1 , g_3 g_3 = g_1 , g_3 g_3 = g_2 \ \} $.
Non ?
Si c'est correct, comment généraliser, à $ n $ avec, $ G = \{ g_1 , \dots , g_n \ \} $ ?.
Merci d'avance. -
Finalement, ton groupe, c’est $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ ou le groupe de Klein ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
ça change le résultat si on remplace $ \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} $ par $ \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $ Nicolas ?
-
C'est un exercice de base de démontrer que ces deux groupes ne sont pas isomorphes. Tu devrais essayer.
-
Ce n’est pas le même groupe. Dans l’un, tu as des éléments d’ordre 4, dans l’autre, aucun.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Merci à vous deux Seirios et Nicolas.
@Seirios,
Il existe, $ 4! = 24 $ bijection entre, $ \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} $ et $ \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $. Lesquelles sont des homomorphismes ?
Merci d'avance. -
D'accord. Je n'ai pas bien compris le message de Nicolas au début. D'accord. Donc, les deux groupes ne sont pas isomorphes. :-)
-
Tu remarqueras que, à partir des dernières relations que tu as données, tu peux en déduire que $g_1=g_2=g_3=1$. Autrement dit, ta présentation représente le groupe trivial...
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Pablo, tu ne comprends vraiment rien à ce que tu écris...
On te demande de choisir un groupe que tu connais et d'en faire une présentation. Apparemment, ce point-là pose problème : tu ne sembles pas connaître de groupe.
Seirios et nicolas.patrois te disent depuis le début qu'il suffit de prendre tous les éléments du groupe comme générateurs et la table de multiplication comme ensemble de relations... et tu n'arrives pas à l'écrire.
On te dit de le faire avec le groupe à 3 éléments (pour lequel il n'y a aucune ambiguïté possible puisqu'il n'y en a qu'un) et tu choisis d'étudier un groupe à 4 éléments.
Avec le groupe à 3 éléments $\{e,a,b\}$, tu dois donc écrire $3\times 3=9$ relations entre ces éléments pour obtenir la table de "multiplication" de ce groupe.
Avec le groupe à 4 éléments $\{e,a,b\}$, tu dois écrire $4\times 4=16$ relations entre ces éléments pour obtenir la table de "multiplication" de ce groupe.
Mais on ne te demande pas de le faire au hasard ni de trouver toutes les possibilités ! On te demande de présenter un groupe que tu connais ! -
Oui, alors, pour $ G = \{ \ e , a , b \ \} = \{ \ e , a , a^2 \ \} $, les relations sont, $ R = \{ \ a^2 = e, b^2 = e, ab = e , ba = e \ \} $. Non ?
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A chaque fois que Pablo poste un message se terminant par "Non ?", la réponse est "Non !"
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Alors, essayez de me donner la réponse si c'est faux. Qu'allez vous perdre ?!
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$ R = \{ \ a^2 = b , b^2 = a , ab = ba = e \ \} $.
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Ca confirme ce que je disais. Le message ci-dessus ne finit pas par "Non ?" et il est correct, contrairement au message précédent qui finit par "Non ?".
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Maintenant qu'on en a fini avec $\Z/3\Z$, les groupes quelconques n'ont qu'à bien se tenir !
-
Merci à tous.
Pour le cas général, c'est à dire, lorsque, $ |G| = n > 3 $, comment faire pour montrer que $ G $ est de présentation finie, en suivant ce qu'a dit Seirios au début de la discussion ?
Merci d'avance. -
Je ne sais pas trop comment le dire autrement que ce qui a déjà été dit. Essayons quand même : pour trouver une présentation de $G$, tu peux prendre $G$ pour l'ensemble des générateurs, et comme relations tous les résultats dans $G$ du produit de deux éléments.
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Ah d'accord, donc, le nombre de résultats ou de relations, est $ \leq n^2 $, donc, fini. Est ce que c'est ça ?
$ n^2 $ est évidemment le nombre de cases dans la table de multiplication de $ G $. -
Maintenant, tu peux écrire un énoncé puis une preuve. C'est la meilleure façon d'être convaincu.
-
Merci Seirios pour l'aide que tu m'as fournie tout au long de ce fil. En ce moment, je suis très occupé par un autre problème qui n'a rien à avoir avec les groupes. Quant j'aurai un peu de temps, je viendrai rédiger proprement une preuve détaillée concernant ce fil comme tu m'as suggéré.
Merci en tous cas. -
Seirios,
Je n'arrive pas à me débarrasser de la flemme afin de te rédiger soigneusement une réponse ici. Excuse moi de t'informer que je ne vais pas te l'écrire. :-)
Cordialement.
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