Anneau local, point générique ...

J'ai l'impression que tout est local, donc tu serais ramené à l'énoncé suivant: soit $R$ un anneau local noethérien sans idéaux premiers autre que son idéal maximal, alors $R$ est artinien.

On montre facilement que l'idéal maximal est nilpotent à partir de ça, puisqu'il est alors égal à l'intersection des idéaux premiers.

Je crois bien. Je ne suis pas du tout expert en géométrie algébrique ou quoi, mais ton énoncé me semble totalement local, donc on peut se ramener à un voisinage affine de ton point générique (dans lequel ton point est toujours générique).

Ce voisinage affine il est de la forme $Spec(R)$ pour un anneau $R$ qui est noethérien (car ton schéma l'est); et ton point $\mathfrak p$ étant générique, il est contenu dans tous les idéaux premiers de $R$ (l'adhérence de $\{\mathfrak p\}$ est bien $V(\mathfrak p)$), donc $R_\mathfrak p$ est un anneau : local, noethérien, et qui ne contient aucun idéal premier à part $\mathfrak p R_\mathfrak p$, son idéal maximal. Coup de chance, c'est aussi l'anneau local de $Spec(R)$ en $\mathfrak p$.